Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
равновесии при температуре Т3 и описываемую оператором плотности ps(0)
системы невзаимодействующих частиц:
р8(0) = Пр;(0), (7.57)
где
ехр(- _
; Sp [ехр (- 7%з])]
U ^ • (7-59)
9
Температура Ts может быть как положительной, так и отрицательной.
Интересно теперь вычислить ожидаемое среднее значение оператора о* в
момент времени t = 0. Оно имеет вид
<oJ> = Sp р;- (0) б/. (7.60)
7.51
МОДЕЛЬ МАЗЕРА
357
Вычислим этот след в представлении, в котором матрица а) диагональна, т.
е. когда а)\ + 1 > = + 11 + 1 >• Тогда мы получим
е~'1гУ') _ е/кУ'> ha-
= -'/Д3- '/.X,- = - ^ 2кТ '
е > + е > s
Если температура Тв отрицательна, то величина <а)> положительна.
Отношение количества спинов в верхнем состоянии к количеству спинов в
нижнем состоянии имеет вид
<+l|5jPi|+l> _
-VV;
' 1 I ^Р; | - 1>
<+11 q| g M+l> . I ha,
= exp - ~л . (7.62)
<-! | "•,-'"<"< | _1> \ kT->
Отсюда видно, что если температура Т8 отрицательна, то в верхнем
состоянии будет находиться больше спинов, чем в нижнем состоянии.
Для того чтобы получить инверсию населенности (и отрицательную
температуру Тв), достаточно включить в нашу схему некоторый механизм
накачки [42]. Как отмечалось ранее, это совсем нетрудно и поэтому не
представляет особого интереса в нашей задаче.
После всего этого предположим, что в момент времени t = 0 поле излучения
начинает взаимодействовать со спинами, т. е. между ними возникает
некоторая связь. Согласно гл. V член взаимодействия можно записать в виде
Ях = 2 Hkj (tija -+- <з7а+).
i
Здесь величина kj является постоянной связи для /-го спина, a Of -
операторы Паули для /-го спина.
В результате полный гамильтониан для мазера имеет вид
Н = Йсоа+а + + 2 hkj (ata + <з7я+). (7.63)
j i
При этом мы считаем, что связь между полем излучения и сцинами явдяется
слабой-
358
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ
[ГЛ. vir
7.6. Мазерные уравнения движения
Следующим шагом в нашем изучении статистических свойств мазера является
решение уравнений движения в представлении Гейзенберга. В силу
коммутативности операторов спина и бозона нетрудно получить эти уравнения
обычным способом. При гамильтониане вида (7.63) они имеют вид
- - та - i 2 kjaj,
i
d37 • - z
~= - mjOj -f ikjOja,
+
= - 2ikj (<Sj a + Oj a+),
daf
= -ficoja, - ikjOja+,
~ = icoa+ + i 2 k}dj.
J
Эти уравнения оказываются существенно более сложными, чем уравнения
(7.11) для аттенюатора, ибо в правой части появляются нелинейные члены
вида в)а, Oj a+ и т. п. Однако если мы хотим рассматривать модель,
описывающую линейный усилитель, то мы должны сделать линейное
приближение.
Это линейное приближение состоит в следующем. Пусть в рассматриваемом
образце имеется большое число спинов. Для того чтобы выделить энергию из
образца, необходимо перевести спины из верхнего состояния в нижнее с
одновременным испусканием фотона (при этом изменяется величина <Д).
Однако, для того чтобы достигнуть необходимой величины усиления в такой
системе, достаточно перевести из верхнего состояния в нижнее лишь
небольшое число спинов из общего количества *). Поэтому, если процесс
взаимодействия спинов с полем
(7.64а)
(7.64Ь)
(7.64с)
(7.64d)
(7.64е)
*) Это приближение справедливо лишь вдали от насшценвд. {Прим. перев,)
7.6]
МАЗЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
359
излучения не будет продолжаться достаточно долго и если величина связи
между спинами и полем мала (kj со j ss
~ со), то начальное равновесное тепловое распределение спинов, задаваемое
оператором плотности в формулах (7.57) и (7.58), не будет заметно
изменяться в течение процесса усиления. Поэтому в уравнениях движения
(7.64) операторы о) можно заменить на их равновесные значения (7.61).
В соответствии с уравнением (7.64с) изменение во времени величины а)
пропорционально величине к}. Отсюда следует, что член вида кр)а в
уравнении (7.64Ь) оказывается порядка к/ *). Поэтому в линейном
приближении мы можем заменить величину а) на <И;>. Такой метод
эквивалентен получению приближенного решения уравнения в виде разложения
в ряд по степеням коэффициента связи kj. В этом случае пары уравнений
(7.64а), (7.64Ь) и (7.64d), (7.64е) оказываются расцепленными между
собой, и в результате получается бескопечная система уравнений вида
da . . _
_ = - та - i 2j ,cPi >
' (7.65)
dSl - -7 7
-l = _ гсоЛ- + ikj <Oj> a.
Поскольку уравнения линейны, то решение для оператора а (<) ищем в виде
a (t) = и (t) а + 2 Vj {t) а], (7.66)
i
где операторы аиа, не зависят явно от времени и соответствуют значениям
операторов в представлении Шредингера при t = 0.
*) Нам кажется, что это утверждение неверно. Точнее нужно сказать, что
отклонение величины о? от среднего равновесного значения <з*> в силу
линейности приближения будет невелико и порядка kj. А тогда отличие члена
kjOz. от члена kjisp будет порядка Щ ) что уже есть превышение точности
линейного приближения. (Прим. перее.)
360 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
Из коммутационных соотношений следует, что
