Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Р (0) = рх (0) р2 (0), (7.107)
где оператор плотности рх (0) описывает систему из осцилляторов на
частоте Щц а оператор плотности р2(0)- систему осцилляторов на частоте
о>2. Если мы, как обычно, положим, что
Ах = (t) + alaf (t), (7.108)
то характеристическая функция для системы частиц, которая описывает
свойства поля на частоте Оц принимает вид
СлЛ) = SP iPi (0) Ра (0) e*Al(i> ]. (7.109)
7.10] СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛИТЕЛЯ
373
С помощью соотношений (7.105) величину Ах (t) можно записать в виде
А1 (t) - (ch kt) ах + a*el"l( (ch kt) a[ -f
+ га1е_г("1<+ф) (sh kt) - ia[el^'l+'^ (sh kt) a2 =
= и (t) ax -f w* (t) af -f v (t) a2 -f v* (J) a^". (7.110)
Функции и (t) и v (t) определяются из этих равенств. Из соотношений
коммутации следует, что характеристическую функцию можно представить в
виде произведения двух сомножителей:
С а, (S) = Sp [Pl (0) eii(uai+uta^} J Sp [р2 (0) ]. (7.111)
Как и в случае аттенюатора и мазера, мы сумели записать
характеристическую функцию в виде произведения двух сомножителей, каждый
из которых включает в себя операторы только одного осциллятора. Форма
этих сомножителей совпадает с той формой, которая встречалась нам раньше
много раз. Поэтому вычисление сомножителей в формуле (7.111) для случая,
когда на частоте в момент времени t = 0 имеется сигнал плюс гауссов шум,
а на частоте а>2 - шум, мы оставляем читателю в качестве самостоятельного
упражнения. В этом случае, как мы знаем из шестой главы, шум описывается
операторами плотности
Pi (0) = (1 - е~^) ,
Ра (0) = (\-е-^)е-^а\
Если в начальный момент моды находятся в состоянии вакуума, то оператор
плотности имеет вид
р (0)= 10), |0>21<0| 2<0|.
Тогда характеристическая функция с помощью выражения (7.110) приводится к
виду
CAi (I) = ехр Г - 4- ?2 (| и (t) |* + | ц (012)'
ехр
I21 ос, |2 (ch2 kt + sh2 **)"] . (7.112)
374
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ
[ГЛ. VII
Отсюда среднее число квантов в моде резонатора частоты в момент времени t
равно
(afa1') = sh2 kt. (7.113)
Это есть среднее число квантов в момент времени t в том случае, когда в
начальный момент времени t = 0 число квантов равно нулю. Выходная
мощность, обусловленная этими спонтанно испущенными квантами, и носит
название квантового шума. В качестве упражнения мы предлагаем читателю
показать, что эффективная шумовая температура в этом случае равна
т'"=Шг- (7Л14)
Она оказывается точно такой же, как и для идеального мазера. Отметим, что
в данном случае при получении выражения для этой шумовой температуры нам
не было необходимости предполагать очень большое усиление.
7.11. Характеристическая функция для преобразователя частоты
Если для преобразователя частоты использовать решение (7.106), то для
оператора А± (t) получим
Ai (t) = и (t)(h_ + и* (t)at + v (t) аг + v* (t)at, (7.115) где
и (t) = а1е~ги>l( cos kt, v (t) = ia*e,("lt+<p) sin kt. (7.116)
Характеристическая функция для величины А1 имеет вид
СAl = Sp [рх (0) ¦] Sp [Ра (0) ^а^'аЪ ¦]. (7.117)
По внешнему виду (7.117) совпадает с характеристической функцией
усилителя. Однако между ними имеется существенное физическое различие.
Для выявления этого различия рассмотрим случай чистого состояния системы,
при котором обе моды находятся в состоянии вакуума. Тогда
характеристическая функция примет вид
С а, [I) = ехр [ - | "j |2 (| и |2 + | v !2)] = ехр 4r I *i Г) • .
ЗАДАЧИ
375
Оказывается, что среднее число квантов в момент времени t в моде частоты
coj равно нулю, т. е. когда на входе преобразователя частот отсутствует
какой-либо входной сигнал, то и на выходе преобразователя частот нет
никакого сигнала. Иными словами, преобразователь частот не обладает
никаким квантовым шумом и поэтому его шумовая температура равна нулю.
ЗАДАЧИ
7.1. Если генератор напряжений начинает взаимодействовать с резонансной
полостью, содержащей осцилляторы потерь, то в этом случае к гамильтониану
(7.10) добавляется некоторый член взаимодействия вида
Н" = Л U (t) а+ + /* (t) а].
Показать, как этот дополнительный гамильтониан Н" видоизменяет уравнения
движения (7.11). Решить эти уравнения для величин а (t). (Воспользоваться
методом анализа, приведенным в приложении 3.)
7.2. Пусть функция / (t) в задаче 7.1 имеет вид
/ (0 = .
Найти характеристическую функцию для величин р и q в том случае, когда
осцилляторы потерь описываются матрицей плотности (7.4), а начальное
состояние поля является состоянием вакуума. Найти стационарные значения
величин <р> и <д>.
7.3. Показать, что приближенные решения, приведенные в формулах (7.18) и
(7.19), удовлетворяют соотношениям коммутации (7.17). Сделать
приближения, согласующиеся с приближениями, сделанными в приложении 3.
7.4. Решить мазерные уравнения движения (7.65) с помощью метода,
приведенного в приложении 3.
7.5. Показать, что решения (7.69) удовлетворяют уравнению (7.68).
7.6. Проверить формулу (7.76).
7.7. Вычислить характеристическую функцию для модели двухуровневого
мазера, если в начальный момент времени в резонаторе имеется гауссов шум
