Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
и синусоидальный сигнал со случайной фазой. Найти среднее число квантов
поля в момент времени t после появления взаимодействия.
7.8. Вычислить среднее число квантов на частоте Шл параметрического
усилителя в момент времени t, если в начальный момент времени (=0 (см.
формулу (7.111))
р. (0) = ехр (-п{) е1';Л 10 > < 0 | (< = 1, 2)
376
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
И
wi = Vn.e г*> (i = 1, 2).
7.9. Решить задачу 7.8 в том случае, когда
Pi (0) = | щу (щ | (? = 1, 2).
7.10. Для параметрического преобразователя частоты вычислить среднее
число квантов в моде частоты он в момент времени ?, если в момент времени
? = 0
Р{ (0) = | ЩУ <Щ |.;
7.11. Для параметрического усилителя вычислить кет-вектор состояния в
момент времени ?, если в момент времени ? = 0 было состояние | щ, п2у.
(Замечание: вычислять в представлении взаимодействия.)
Определить вероятность того, что в момент времени ? усилитель находится в
состоянии I mt, т2у, если в момент времени ? - 0 он находился в состоянии
| щ, п2у.
7.12. Показать, что для параметрического усилителя оператор плотности в
момент времени t может быть записан в виде
где
Но = Йсо\а^ai -f- ftcoза+ач, Hi = - hk (a+a+e~la> -f- аше1'*),
а p (0) есть оператор плотности в начальный момент времени ? = 0.
Приложение А
ГАМИЛЬТОНИАН ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПЛОСКИХ ВОЛН
Выведем гамильтониан (4.91) энергии поля излучения в кубической полости п
представлении плоских волн. Подставим Е ж II (формулу (4.90)) в (4.91) и
после несложных алгебраических преобразований получим
Н = - S S {("(о "Г.'> + [(r)jv, кг'])} X
I, о Г, а'
X
по полости
j df W ехр (ifc,г) - а+ (t) ехр (- ifc,r)] х
олости
X [аГо, (") охр (tfcj.r) - а+д, (г) ехр (- ifc;,r)]. (Д.1)
Так как
2л
к±1 = +- (У + h\ + hk) (А. 2)
(это следует из (4.82)), мы видим, что
Т- jj dr ехр [+ i (/сг + кг) г] = бг, -I,
по полости
^ с!т ехр [+i (fc, - fc,,) г] = 6iV.
по полости
(А.З)
Если мы подставим эти формулы в (А.1), проведем суммирование по /' И
учтем, ЧТО W; = (!)_;, ТО ПОЛуЧИМ
о,
я = 2 Т" {(а*° "?'+ "&**>'> [("ю "V) + (["го ^г ][его кг1)1-
/, а, о'
- ("(""-го' + 4"-г"') 1("1о е_го') + ([eiokjl 1е-го' М)]]. (А.4)
378
ПРИЛОЖЕНИЯ
С помощью обычных правил векторного анализа проводим следующие
преобразования:
([его кг] [егс,,кг]) = ([ега[кг еь,]]кг) = t(eZa e,a,) к* - (e,ak,)
ela,]kt =
= (e;a ег"') = Saa'> (A-5)
где использовано, что (e;<Jk;) = 0 и кг kj = 1. С помощью аналогичных
преобразований получаем
([ег" к;] [е_1а, к J) = (е[а е_г",) (кг к^г) = - (e,a e_la,), (А.6)
где использовано, что к_; = - к;. Из (А.6) следует, что послед-
ний член в (А.4) тождественно обращается в нуль, в то время как из (А.5)
следует, что первый член сводится к 2боа,, и, таким образом,
н = 2 "г- (ai°at + atah) '
l, a
что согласуется с (4.91).
Приложение Б
ИМПУЛЬС ПОЛЯ в полости
В этом приложении мы рассчитаем классический импульс, связанный с полем
излучения в полости. Если мы подставим Е и Н из (4.90) в (4.93), то
получим
G = - s S УЧШ!' ["W MI X
Z, a Z', o'
X -j- jj di[ala(t)exp(iktr) - a+(г) ехр (- ik(r)] X ПО полости
X Iя/v (0 СХР (ПСуГ) - арв, (?) ехр (- ik^r)]. (Б.1)
Этот интеграл совпадает с'интегралом, рассчитанным в приложении А. Если
мы используем этот результат, то увидим, что G преобразуется следующим
образом:'
hat
G== 2j ~2Г~ {(abat'+
- lP-ioa-w + a%a-w) [ela [e_;a, k_,]]}. (Б.2)
Для простоты мы опустили явную зависимость от времени.
СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНОЙ 8-ФУНКЦИИ
379
Используя хорошо известное векторное тождество, получаем [егя ["V ^11 =
(е1а е1а,) к, = dGa,kh teic [e_,e. k-;]] = -(eiee_le.)k" (Б.З)
так как
(elfl к/) =0 и к_г = - kz.
Таким образом, (Б.2) сводится к следующему выражению:
G=~2 tti(v? + 4aia) +
I, а
+ J_ 2 hkl +ata-l<,')(elae-U')' (Б-4)
г,я, o'
так как kt = игкtfc. Теперь покажем, что последняя сумма по I, а, ст'
тождественно равна нулю. Так как = - к_?, а о' и а - индексы
суммирования, мы можем записать первую сумму по I, а и ст' следующим
образом:
1 v,
Т 2lhklaUa-lAelae-w) =
= "Г 2 hkiai°a-i°' {(его е-гс') - (е/о е-гя')} = 0.
Таким же способом можно показать, что член с обращается в
нуль. Поэтому из (Б.4) получается формула (4.94), приведенная в тексте.
Приложение В СВОЙСТВА ПОПЕРЕЧНОЙ 6-ФУНКЦИИ*)
Поперечная 6-функция определяется следующим образом:
вн(Р) = 'Вг2 t6ij-(kiMkz)j1exP(ifei р) (В.1)
I
или
где к = кк, к2 = ] к |2, dk = dkxdkydkz.
*) Эти свойства поперечной 6-функции изложены в курсе, прочитанном
доктором Д. Валека в Станфордском университете.
380
ПРИЛОЖЕНИЯ
Теперь мы выведем некоторые полезные свойства 6^ (р).
1. бТ(р) = б?(Р). (В.З)
Эти свойства сразу следуют из определения (В.2), так как Si;- =
= б3ч и kiki = kiki-
2. б?(Р) = б?(-Р). (В.4)
Если в (В.2) мы заменим к -> - к, то dk -" - dk и из (В.2) получаем
§ (Р) = ~ J J J dk (6ii " -ТГ") бХР ("1кр) =
к.к.
+°°
+°°
= + j' j j'dk --jr-) exP <- ifcP> = 6" (-p>-
dx}
j
= 0. (B.5)
Из (В.2) после дифференцирования по xj и суммирования по / получаем
