Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
системой, связанной с полем излучения. В свою очередь ноле излучения
состоит из большого числа гармонических осцилляторов, частоты которых
приблизительно равны энергетическому расстоянию между атомными уровнями,
деленному на постоянную Планка. Слабая связь между этими системами,
частоты которых приблизительно одинаковы, вызывает уширение каждого
уровня в целую полосу, ширина которой определяет естественную ширину
линии излучения атома. При этом можно проследить и за энергией атома,
которая переходит от него к осцилляторам ноля излучения. Естественно, что
необходимо длительное время для того, чтобы эта энергия перешла от
осцилляторов поля обратно к рассматриваемому нами атому. Поэтому, если мы
не будем ждать достаточно долго, то ока-
7.2] МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА ПОТЕРЬ. ФОНОНЫ 339
жется, что атом потерял свою энергию, передав ее осцилляторам поля.
Аналогичное явление имеет место и в классической физике. Действительно,
если мы устанавливаем слабую связь между двумя классическими
осцилляторами одинаковой частоты, то в результате мы получим два
осциллятора с новыми частотами (так называемые "нормальные" частоты в
системе двух связанных осцилляторов), одна из которых будет немного
больше первоначальной частоты осцилляторов, а другая - немного меньше.
При этом, если первоначально вся энергия находилась в одном из
осцилляторов, то в конце концов за достаточно большой промежуток времени
вся энергия переходит в другой осциллятор в силу интерференции колебаний
на этих двух новых различных частотах. Если теперь связь между
осцилляторами убрать прежде, чем эта энергия вернется обратно к первому
осциллятору, то но отношению к нему дело обстоит так, как если бы имелся
некоторый механизм потерь.
Если теперь устанавливается связь между М осцилляторами, имеющими в
отсутствие связи одинаковую резонансную частоту, то в такой связанной
системе появятся М новых резонансных частот, лежащих в узкой полосе
вблизи первоначальной частоты. Энергия, находившаяся первоначально в
одном из осцилляторов, за счет взаимодействия между осцилляторами начнет
распределяться между всеми другими осцилляторами. Если до того момента,
когда эта энергия возвратится обратно, удалить связь, то в этом случае
указанный осциллятор потеряет в таком процессе часть своей энергии. Этим
процессом определяется некоторый механизм потерь. Нарисованная нами
картина физически вполне эквивалентна квантовой системе, состоящей из
отдельного атома и взаимодействующих с ним осцилляторов поля излучения.
Для описания потерь в резонаторе будем считать, что одна из мод
резонатора играет роль атома в приведенных выше рассуждениях, и
рассмотрим связь этой моды с упругими колебаниями в диэлектрике. Эти
упругие колебания можно разложить по нормальным типам колебаний кристалла
и показать, что их энергия эквивалентна энергии большого числа "упругих"
осцилляторов. Эти упругие
340 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
колебания могут быть проквантованы точно так же, как квантуются
электромагнитные колебания. Кванты упругих колебаний называются фононами
и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Поэтому гамильтониан для
фононов мы можем написать в виде
Нь = 2 йсоjbfbj, (7.1)
j
где операторы bj и bf подчиняются обычным соотношениям коммутации:
[bj, bf] = bjk, [bj, bk] = I bf, bf] = 0.
(7.2)
В результате мы можем по аналогии с электромагнитным полем в резонаторе
записать энергию упругих волн в кристалле и рассматривать амплитуды этих
волн как операторы, которые удовлетворяют соотношениям коммутации (7.2).
Обычно в твердом теле имеется в единице объема около 1023 атомов, которые
первоначально все имеют одну и ту же частоту упругих колебаний.
Однако когда в твердом теле между этими атомами устанавливается некоторая
связь, то все эти одинаковые частоты упругих колебаний изменяются и
превращаются в целую полосу различных частот со j вблизи первоначальной
частоты. Сумма по всем таким различным частотам (Oj- и указана в
выражении (7.1), причем индекс / пробегает в пределах одной полосы
интервал целочисленных значений от 1 до 1023. Если все эти частоты
расположены очень близко друг к другу с плотностью р (Wj) *), то суммы по
индексу /, когда это удобно, могут быть заменены интегралами.
Если твердое тело находится в тепловом равновесии с окружающими телами
при положительной температуре Т, то распределение упругих типов колебаний
по возбужденным состояниям будет подчиняться распределению Больцмана.
Тогда ансамбль затухающих осцилляторов будет описываться в момент времени
t = 0 известным
*) Не путать р (сор с оператором плотности. {Прим. перев.)
7.2]
МОДЕЛЬ МЕХАНИЗМА ПОТЕРЬ. ФОНОНЫ
341
оператором плотности:
() St> fpviW- Rff.H _ Г ( Vl". . _i_. \1 ' ( • )
Sp [exp (- $HL)] gp ^exp 2 j№m ,b+b#y где P'1 = /сГ.
Так как операторыbJt bf коммутируют, если / =j= к, т. е. [bj, b+] = О, то
мы можем преобразовать соотношение
(7.3) и записать
N
Pl(0) = П р;(0), (7.4)
j-1
где N - число атомов, а
