Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
определенной энергией. В разделе 3.7 мы показали, что такое распределение
Пуассона соответствует волновому пакету с минимальной
318
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
неопределенностью. В разделе 4.2 мы снова столкнулись с таким
распределением. Там было показано, что для создания такого состояния поля
излучения можно использовать классический генератор.
В последнем разделе этой главы мы кратко рассмотрим пример, в
котором распределение Пуассона будет
использовано также для описания смешанного состояния.
Как известно, гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид
Н = Наа+а.
В этом случае решение уравнения Шредингера можно записать в виде
|г|? (*)> = е~Ша+а | ф (0)> =
оо ОО
_ е~Ша+а ^ сп | П} == 2 Спе~Шп \ пУ- (6.89)
п=0 п=0
Если положить
сп=1/ЩМЕ..Г*-, (6.90)
где га - постоянная, а ф - произвольная фаза, то начальное состояние
одного осциллятора станет линейной комбинацией собственных состояний а+а.
В этом случае распределение вероятностей | сп | 2 называется
распределением Пуассона по начальным состояниям.
Нетрудно видеть, что при таком выборе начального состояния состояние |
г|) (i)> системы в момент времени t можно представить с помощью
соотношений (6.89) и (3.162) следующим образом:
|ф(*)> = ехр (- -|-) е",'°+| 0>, (6.91)
где
(6.92)
и | 0) - вакуумное состояние. Легко показать, что <ф (t) |ф (*)> = 1.
С помощью полученных формул рассчитаем теперь характеристические функции
для величин р и q. Обе эти
6.0]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
319
функции можно рассчитать, если ввести величину
А = аа + а*а+, (6.93)
где согласно определению (2.20Ь) А = р, если положить
а = ар = - i . (6.94а)
и А - q, если выбрать
а = ая = У. (6.94Ь)
Характеристическую функцию величины А для рассматриваемого ансамбля
осцилляторов мы можем теперь получить, воспользовавшись определением
(6.80):
С* (S) = Spp (*) "и*. (6.95)
В том случае, когда осцилляторы находятся в чистом состоянии, заданном
формулой (6.91), статистический оператор (6.4) сводится к следующему
выражению:
р (9 = | Ф (9) (Ф (9 I = ехР (- ") е10*0"*" 10> <01 е№а. (6.96)
(Отметим, что Spp2 = 1, так что р описывает ансамбль, который находится в
чистом состоянии.) Если мы подставим это выражение для р (9 и выражение
(6.93) для А в формулу (6.95), то получим
С А (I) = ехр (- П) <0 | e*oaei^(aa+a*a+) ew"a+ | Q). (6.97)
Теперь мы используем теорему 4 из гл. III (см. (3.20)) и запишем
выражение (6.97) следующим образом:
С А (|) = <гп <01 ет1е*а-ае^а*а+ею'а+ | 0> ехр ==
= ехр (- П -]- -i-g2 | a |2j <0 I e(w+iEa)a<?(to*+""V+10). (6.98)
Это выражение можно упростить с помощью теоремы 6 из гл. III (см.
(3.38а)). Тогда мы получим
С А (I) - ехр (- П -f- -i-12 | " |2) <0 | e(u>*+iEa*)(e++"+""0 | 0>,
320
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
так как ехр (Ха) | 0> ниё получаем
| 0). После дальнейших унроще-СА (?) = ехр (- -i-1 а |2) е"<а*"+(tm)*),
(6.99)
так как из (6.92) | w | 2 = п и <0 | ехр (?ia+) | 0) = 1. Это и есть
характеристическая функция для ансамбля осцилляторов в чистом состоянии,
который характеризуется распределением Пуассона по собственным состояниям
фотонов |и>. Из выражений (6.99) и (6.96) видно, что форма
характеристической функции и форма матрицы плотности не меняются с
течением времени.
Следует подчеркнуть, что распределение Пуассона по состояниям | п)
соответствует гауссову распределению вероятностей по собственным
состояниям импульса р и по собственным состояниям координаты q.
Фактически мы уже показали это в разделе 3.7 (см. (3.149)). Интересно
получить тот же результат с помощью фурье-преобразо-вания
характеристической функции (см. (6.87)). С помощью (6.99) имеем
+оо
р =4г Sехр [- т|211* I2+% "¦л> -л')]
-оо
(6.100)
Согласно (6.99) два первых момента для А имеют вид
<Л> = <Л2> =
дС
?=о
а ТО
эю I
а то2 к=о
a w* + a *w,
<Л>2 + |"|2.
(6.101)
Это не что иное, как квантовые средние (по ансамблю) от А и А2. Нетрудно
выполнить теперь интегрирование в (6.100) и получить
р(А') = -тйгехр
(Д А)
(Л'-<Л>)2
2(Д Af
(6.102)
где мы обозначили
(ДЛ)2 = <Л2> - <Л>2 = I a I 2.
(6.103)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
321
Распределение (6.102) является гауссовым распределением вероятностей для
переменной А', которая равна р или д. В случае, когда A' =q', это
распределение может быть записано в более привычной форме:
Р(Я') = \W, t) |2 = |<ф(0 | д'У |2. (6.104)
Отсюда следует, что распределение Пуассона по собственным состояниям
оператора а+а, соответствующее волновому пакету с минимальной
неопределенностью, является одновременно с этим гауссовым распределением
по собственным состояниям величин р и q. Это согласуется с результатами
раздела 3.7.
В разделе 4.2 было показано, что генератор когерентного сигнала,
связанный с некоторой модой резонатора, будет генерировать распределение
Пуассона по собственным состояниям фотонов в том случае, когда резонатор
первоначально находится в вакуумном состоянии. Поэтому сигнал в полости
можно представить с помощью рассмотренного нами распределения Пуассона.
