Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
ha
ha ., ha Vp-- cth2feF
p3 = 2^cth
2 kT
(6.119)
(6.120)
так как для осцилляторов, которые находятся в тепловом равновесии с
резервуаром тепла, X - /ш / кТ. С помощью этих характеристических функций
можно получить следующие соотношения:
<?>
<72)
0,
Рд?
<Р> = о,
<Р2> = рр.
(6.121)
В результате среднее значение энергии Е равно
Я = |"Р2>+со2<<72" =^cth2^. (6.122)
Если величина п равна среднему значению оператора
326
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
а+а, то среднее число квантов осциллятора для такого ансамбля
определяется из соотношения
йа>(й + 4-) =E = ^-cbh^r,
ИЛИ
п = г--з- . (6.123)
ехр (На/кТ) - 1 v '
Это есть не что иное, как известная формула Планка, которая согласуется с
(6.45). Поэтому ансамбль с экспоненциальным распределением вида (6.111)
описывает гауссов шум. Мы оставляем читателю в качестве упражнения расчет
энтропии этого ансамбля.
Если мы теперь вычислим фурье-образы выражений (6.119), то согласно
соотношению (6.87) получим функции распределения вероятностей в q- и р-
представлениях. Они имеют вид
+ 00 1
^^')|2 = 2Г$ dE = _J^e-*'72p9) (6Л24а)
- СО (r)
/ ф (У) I2 = -J=~ е~р,г'^р- (6.124Ь)
У 2Л(Ар
Эти квадраты модулей волновых функций в q- и р-пред-ставлениях являются
гауссовыми распределениями с центрами при р'=q'=0 и со
среднеквадратичными отклонениями от центра, равными соответственно \iq и
цр.
6.11. Сигнал плюс шум
В разделе 6.6 мы показали, что энтропия системы является мерой недостатка
информации об элементах ансамбля! Если-мы максимизируем энтропию прйГдо-
полнительных условиях, соответствующих нашим знаниям о системе, то тогда
мы получим статистический оператор, описывающий систему в рамках
используемых ограничений и дополнительных условий.
Рассмотрим энтропию, которая определяется соотношением
S = -fcSpplnp, (6.125)
сигнал плюс шум
327
при дополнительных условиях [401
Sp р = 1, (6.126а)
<Я> = Sp рЯ, (6.126b)
<р> = Sp рр, (6.126с)
<g> = Sp pq. (6.126d)
В этом случае для ансамбля известны среднее значение энергии и средние
значения импульса <р> и координаты <д). Если мы, используя метод
неопределенных множителей Лагранжа, максимизируем энтропию S при
дополнительных условиях (6.126), то получим, что
Sp(l -f- lnp -f- |1Я + Ai + %2Р + hsq)bp = 0,
где р и ХЬ2,3 определяются из условий (6.126). Так как величина бр
является произвольной вариацией, то записанное выше уравнение
удовлетворяется в том случае, когда выражение в круглых скобках
обращается в нуль. Это дает для р
Р Q- + ?Н- XzP-X3Q
Постоянная нормировки ехр [- (1 -f А^)] определяется из уравнения
(6.126а), так что
р~(ЬН-'кгр-ХдЗ
Р = Sp (е-РН-х^-Хй) ' (6.127)
Отметим, что каждый раз, когда приобретается новая информация о системе,
заново вычисляется статистический оператор.
Прямой расчет постоянных р, Ха и Х3 с помощью (6.126Ь), (6.126с) и
(6.126d) затруднен, и поэтому мы используем некоторый косвенный метод.
Так как величины р и q являются линейными комбинациями операторов а и'а+
и так как Я = Йсоа+а, то мы можем переписать выражение (6.127) следующим
образом:
р = (1 - е_>) е~х(a ~ (6.128)
Здесь мы положим X = Xw = - У Й/2 со (Х3 - гсоЛ,2) и Xw* = - У%12<й(Х3-\-
шХъ), где Х2 и Х3 предполагаются
328
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
Г[ГЛ. VI
действительными числами; к, w и w* - неопределенные параметры. Как мы
увидим в дальнейшем, чле-(1 - е~х) ехр (- Я,|ш| 2) необходим для того,
чтобы выполнялось условие Spp = 1.
Прежде чем переходить к вычислению параметров к и w через среднюю энергию
и средние значения^ электрического и магнитного полей, введем два новых
оператора:
с+ = - w< с = а - w*, (6.129)
где шиш* есть с-числа. Нетрудно видеть, что операторы с, с+ удовлетворяют
тем же соотношениям коммутации, что и операторы а и а+. В силу этого мы
можем ввести совокупность новых базисных векторов { | н)с} с помощью
следующих соотношений:
с+с | п)с = п I и>с, с|и>с = Yn\n - 1>с" (6.130)
с+ I и) с = Y п + 11 га + 1>с
Характеристическая функция для оператора
X = аа + а*а+ = ас + а'с+ -ф агн* а*го (6.131) имеет вид CA№) = Sppe"A =
= ei5 ("W'+сс'ю) ^ __ gp je_Xc+cei^(ac+"*c+) ])
где мы выразили оператор р из (6.128) через с и с+. Теперь мы можем
рассчитать след в представлении, в котором оператор с+с диагоналей. В
результате мы получим, что
СА(Ъ) = ei5<""*+a'ro)exp(--^?2|а|2) х
X (1 _ ,-*) 2 с<л | i й>с = Г ** ,
где ^ (6.132)
р = |а|2 cth-^-. (6.133)
Здесь мы использовали результаты (6.112) и (6.117), так как собственные
состояния оператора с+с ведут себя так же, как и собственные состояния
оператора а+а.
6.11]
СИГНАЛ ПЛЮС ШУМ
329
С помощью характеристической функции (6.132) легко получить средние
значения электрического и магнитного полей:
Из этих соотношений множители Лагранжа w и w* можно выразить теперь через
измеримые значения <р> и <</> электрического и магнитного полей
соответственно.
Вторые моменты этих полей равны
Мы определим X из средней энергии поля, отсчитанной относительно энергии
нулевых колебаний поля, а именно:
