Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
излучения. Формально такое взаимодействие аналогично взаимодействию
двухуровневого атома с полем излучения, которое уже обсуждалось в гл. V.
Поэтому мы надеемся, что такое взаимодействие будет достаточно хорошо
описывать механизм потерь для моды резонатора и в то же время будет
достаточно удовлетворительно объяснять ширину линии резонатора.
7.3. Уравнения движения аттенюатора
Полученный нами гамильтониан (7.10) описывает систему связанных
гармонических осцилляторов, в которой только один осциллятор, который
характеризует моду поля резонатора (фотон), связывается с другими
осцилляторами (фононами). Мы же будем интересоваться статистическими
свойствами целой совокупности таких систем. В частности, нас интересуют в
основном статистические свойства поля излучения, а не поведение
осцилляторов потерь. Именно поэтому мы будем в дальнейшем вычислять
характеристическую функцию для электрических и магнитных полей в
резонаторе. Однако такие вычисления гораздо более удобно производить в
представлении Гейзенберга. Поэтому мы должны знать решения уравнений для
операторов а (г) и а+ (г) в форме Гейзенберга.
Можно получить эти уравнения, если исходить из полученного нами
гамильтониана и воспользоваться при этом соответствующими соотношениями
коммутации. Нетрудно видеть, что эти уравнения движения для операторов а
(г) и bj (г) имеют вид
W = ТЗГ [а' Н] = - * 2 кФи
3 (7.11)
db. 1 ,
St ~ Т" н] = - - %а-
Эту бесконечную систему связанных уравнений невозможно решить точно, и мы
для ее решения воспользуемся в дальнейшем приближением Вигнера-Вайскопфа,
рассмотренным нами в гл. V.
7.3]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АТТЕНЮАТОРА
345
Однако прежде чем переходить к решению этой системы, мы получим некоторые
полезные свойства этих решений. Так как нас интересует характеристическая
функция, описывающая поле излучения для некоторой моды резонатора, то мы
не будем детально исследовать операторы bj (t) и bf (t), описывающие
поведение осцилляторов потерь (фононов). Очевидно, что в этом случае нам
необходимо вычислять характеристическую функцию для выражений вида
A (t) = аа (t) + а*а+ (t).
Кроме того, так как уравнения (7.11) линейны по операторам а и bj, то
решение этой системы для оператора а (г) в общем случае должно иметь вид
a (t) = и (t) а + 2 Vj (t) bj,
(7.12)
где а и bj являются операторами в представлении Шредингера, ибо они не
зависят явно от времени. Решение вида (7.12) логически вытекает из
системы уравнений (7.11), если последнюю записать в матричной форме.
Введем для этого матрицы вида
A(t)
- a(t) - '(0 k, ^2 • - •
fei (t) , K = k[ CDi 0 . . .
1 CM *(c) • 1 k'2 0 0>2 . • *
(7.13)
Тогда систему (7.11) можно записать в следующей форме уравнения для
матриц:
dA dt
- iKA,
которое имеет формальное решение вида
(7.14)
A (t) = e~iKt А (0),
(7.15)
ибо матрица К не зависит от времени. Из последнего выражения следует, что
оператор а (t) принимает вид (7.12).
Далее, поскольку соотношение коммутации для операторов a (t) и а+ (t),
\a(t), а+ (t)) = 1, (7.16)
346
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
должно выполняться для любого момента времени, то отсюда и из выражения
(7.12) вытекает, что функции и (t) и Vj (t) должны быть связаны между
собой соотношением
Соотношение (7.17) окажется впоследствии весьма полезным при упрощении
некоторых результатов.
В принципе мы могли бы получить вид функций и (t) и Vj (t) путем
разложения в степенной ряд равенства (7.15). Это разложение было бы
эквивалентно ряду теории возмущений по постоянной связи к]. К сожалению,
эти ряды обладают очень плохой сходимостью для того, чтобы их можно было
плодотворно использовать в конкретных расчетах. Поэтому мы используем для
нахождения функций и (t) и Vj (t) метод Вигнера-Вайскопфа. Детали
вычислений по этому методу формально аналогичны тем вычислениям, которые
были проделаны в гл. V при расчете естественной ширины линии излучения.
Поэтому за конкретными вычислениями в данном случае мы отсылаем читателя
к приложению 3, где найдено, что
где у - параметр потерь, определяемый соотношением
Здесь малый частотный сдвиг Дсо определяется по формуле
(5° - символ главного значения интеграла), а множитель Р (со) учитывает
форму линии для осцилляторов потерь (его не следует путать с оператором
плотности).
И*)12 + 2К№ 12 = 1>
(7.17)
;
ибо [a, bj\ = 0, [а, bf\ = 0 и т. п.
(7.18)
Vj (t)
к-е г"3'( {1 - ехр [i (cOj -a')t - (т/2) f]} (Oj~ (o' -W(T/2)
(7.19)
У = 2л/с2 (со) р Ц),
(7.20)
(7.21)
со' = со + Дсо.
(7.22)
-----ОО
7.4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АТТЕНЮАТОРА 347
В качестве упражнения предлагаем читателю проверить, что эти приближенные
выражения для и (t) и Vj (t) удовлетворяют условию (7.17). Это в то же
время будет и дополнительной проверкой внутренней согласованности
(непротиворечивости) тех приближений, которые используются в Приложении 3
при выводе формул (7.18) и
(7.19). Очевидно, что в рамках сделанных приближений соотношение (7.17)
