Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, если информация о состоянии квантовой системы в момент
времени t = 0 не является полной, то в этом случае ансамбль находится в
смешанном состоянии. Определенный интерес представляет тот случай, когда
состояние системы описывается распределением Пуассона, но со случайной
фазой. Это означает, что любые значения фазы в выражении (6.96)
равновероятны.
Рассмотрим теперь состояние одного элемента из этого ансамбля. Его можно
представить в виде
в I Ф (*)> = ехр (- -у) 2 (]А у-, } I n> (6.105)
п=0
Статистический оператор (6.4) для такого ансамбля со случайной фазой
имеет вид
л dtp 2(7 dcp } (фт-'?п\ р(0 = ехр (- ") 2 \ аг \ х
П, 771=0
X (Yn е-ш)п ( В> <тга | Qf п еш)т. (6.106)
Интегралы по ф" и фт обращаются в нуль для всех значений фп ф фт. Это
значит, что оператор р диагоналей в
322
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. VI
рассматриваемом представлении, и согласно (6.106) он приобретает вид
оо п Л
p(f) = ехр (- п) 2 -^г1"> <ге1- (6.107)1
п=о } )
Диагональные элементы оператора р в этом представлении имеют вид
<п1р1п>^рп = ехР-(-,й)"П (6.108)
и представляют собой вероятности, которые распределены
ОО
по Пуассону. Хотя Spp = = 1" н0 мы видим, что
о
оо
sp р2 = 2 1. Это означает, как известно, что ансамбль
о
находится в смешанном состоянии. Между прочим, так как величина
°° _П
(а+а) = Sp ра+а = 2 ехР (~" й) <п | а+а | п) =
п=0
°° -П
- ехр(-й)2п~1~ = " (6.109)
о
является постоянной, то оператор р в (6.107) не зависит от времени.
В качестве упражнения мы предлагаем читателю доказать, что
характеристическая функция величины А вида (6.93) для ансамбля
гармонических осцилляторов, который описывается статистическим оператором
(6.107), имеет вид
С а (I) = ехр ( | а |2) /0 (2g | а | У п),
(6.110)
где Jo - функция Бесселя нулевого порядка [40]. В выражении (6.107)
отсутствуют недиагональные элементы, в то время как в (6.96) они есть, и
это привело к существенному изменению характеристической функции.
Диагональные же элементы одинаковы в обоих случаях.
,5.10] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 323
Таким образом, мы видим, что выражение (6.96) имеет определенный
физический смысл, а именно, оно описывает сигнал с определенной фазой.
Бэннет [40] показал, что характеристическая функция вида (6.110)
соответствует синусоидальной волне, которая сопровождается гауссовым
шумом. В разделе 6.11 мы получим статистический оператор, который
описывает сигнал в присутствии гауссова *шума.
6.10. Экспоненциальное распределение
Другое распределение, которое часто появляется в теории шумов,- это
экспоненциальное распределение по состояниям фотонов | п>. Его можно
использовать для описания ансамбля гармонических осцилляторов, который
находится в тепловом равновесии с тепловым резервуаром при температуре Т.
С помощью выражений (6.49) и (6.50) в том случае, когда Н = На а+а и а+а
| н) = п | тг>, можно получить, что
ОО
р = (1 - е-х) 2 e_Xn I пУ (п I* (6.111)
П-0
где к = §На = На / кТ. Нетрудно видеть, что Sp р2 =j= 1; таким образом,
рассматриваемый нами ансамбль находится в смешанном состоянии.
Естественно, что это распределение называется экспоненциальным.
Вычислим теперь характеристическую функцию для величины А = аа + а'а+ в
том случае, когда ансамбль описывается формулой (6.111). В этом случае
имеем
С А (I) = Sp [р it) е*Б (аа+а'а+) ] =
ОО
= (1 - е~х) ^ е"Хп |eiz (аа+а'°+) | п) =
п-0
_ L. F2 ' °°
= (1 - е_х) е 2 аа 2 е-Хп<п|е^а'а+е^аа|н>, (6.112)
71=0
где мы использовали теорему 4 (см. (3.20)) из гл. III. Чтобы рассчитать
матричные элементы в (6.112), запишем состояние | п) в виде | n> =
(aW/n!) | 0). Используем
324
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. AI
теперь теорему 6 гл. III (см. (3.38а)) и равенство ехр (ка) | 0> = [ 0>.
Тогда С а (|) преобразуется к следующему виду:
См(!) = ( 1-е-*)Д^а'х
00 -}.П
х 2 е~пГ <° I (а + ^а')" (а+ + ^а)" I °>-
п=э
Так как
(о+ + i|af 10> -
771=0
<о I <" + - s [firiw<г!'
1= О
где мы снова заменили (а+т I Yтп\) | 0) = | нг>, то выражение для С а (?)
приобретает вид
п -о 772=0
Здесь было использовано соотношение ортогональности {I I т} = д1т.
Вычислим сумму в формуле (6.113). Для этого заменим индексы суммирования
п - т = I, п = г.
Тогда выражение (6.113) приобретет вид
Сл(c)-(1~^Е'"' <6-И4>
г=о г=о
Так как
а лт;!'.
/=о ^
6.10] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 325
где Ьт{х) - полином Лагерра, а
00 xzl(z-1)
(6.116)
то суммы в (6.114) приводятся к следующему виду:
С л (I) = ехр ?2аа' (1
где
р. = ал' (1 -
аа'cth•
(6.117)
(6.118)
С помощью характеристической функции (6.117) доказывается теорема,
предложенная Блохом. При определенном выборе а и а' можно записать А = аа
-f- а'а+ в виде линейной комбинации величин р и q. Теорема Блоха
утверждает, что закон распределения вероятностей любой линейной
комбинации величин р и q имеет вид распределения Гаусса. Таким образом,
если в соответствии с (6.94) а' = а* = ар или aQ, то выражение (6.117)
сводится к следующим:
где
Ср&) = е' Сд(Е) = Г"5^,
