Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
должно выполняться в течение того интервала времени, пока не нарушаются
соотношения неопределенностей.
Из выражений (7.18) и (7.19) нетрудно увидеть, что, когда величина |и (t)
|2 уменьшается с течением времени, осцилляторы потерь (фононы) возвращают
эту энергию обратно в эту моду излучения резонатора. При этом
автоматически в каждый момент времени выполняются соотношения коммутации.
Как отмечалось ранее, соотношения коммутации нарушались, если частота со
просто заменялась на "и + i (у/2).
7.4. Характеристическая функция аттенюатора.
Полуширина линии резонатора
В гл. VI мы видели, что статистические свойства излучения в резонаторе с
потерями могут быть получены с помощью вычисления характеристической
функции для совокупности систем, представленных в момент времени t = 0
оператором плотности р (0). Этот оператор плотности описывает состояние
аттенюатора в начальный момент времени ( = 0. Вычислим характеристическую
функцию для оператора А (() в представлении Гейзенберга. Этот оператор
имеет вид
А (t) = аа (t) + а*а+ (t). (7.23)
При этом, если а = aq = У"й/2ш? то оператор А (t) = = q (t) соответствует
магнитному полю, а если а = ар = = - f|/W2, то оператор A {t)-p (t)
соответствует электрическому полю внутри резонатора.
Характеристическая функция для оператора А в представлении Гейзенберга в
соответствии с результатами гл. VI имеет вид
С а (5) = Sp (р (0) ехр [аа (t) + а*а+ (г)]}). (7.24)
348
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ
[ГЛ. VII
Оператор плотности р (0) в момент времени ? - 0 можно записать в виде
обычного произведения оператора (0), описывающего начальное состояние
поля в резонаторе, и оператора pl (0), описывающего начальное состояние
осцилляторов потерь и определяемого формулой (7.4), т. е.
р (0) = р, (0$? (0). (7.25)
Это возможно сделать потому, что до момента ? = 0 между осцилляторами
поля излучения в резонаторе и осцилляторами потерь не было никакого
взаимодействия - связь между ними включается в момент времени t = 0.
Если использовать выражение (7.12) и ему комплексно сопряженное, то
экспоненту в формуле (7.24) можно записать в виде
ехр {?? [аа (?) + а*а+ (?)]} =
= ехр [?? (аиа + а*иа+)[ f J ехр [?? (a v,bj + av*bf)], (7.26)
j
ибо все операторы а и Ъ в правой части равенства, которые являются
операторами в представлении Шредингера в момент времени ? = 0,
коммутируют между собой. Для сокращения записи в (7.26) величины и (t) и
vj (l) записываются в виде и и vj.
Если теперь воспользоваться формулами (7.25) и (7.26), то можно записать
характеристическую функцию в виде произведения двух сомножителей:
Ca&) = F-L, (7.27)
где
F = Sp р/ (0) ехр [?? (аиа -f- а*и*а+)],
ГГ ГГ * * 4- (7'28)
L = П Lj ~ [j SP Pi (°) ехР + а v.ibf)]-
з з
В первый сомножитель F входят операторы поля в резонаторе (хотя влияние
потерь учитывается обычной функцией и (?)), а во второй сомножитель L
входят только операторы потерь bj.
Сначала мы рассмотрим величины Ь}, ибо они уже были вычислены в гл. VI.
Для этого используем выражение
7.4] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АТТЕНЮАТОРА 349
(7.5) и вычислим след оператора р; в выражении для Lj в представлении, в
котором оператор Ъ?Ъ} диагоналей. Тогда получим
= (1 - е~х*) X
оо
X 2 е_Х,П; \n31 ехР (avibi + av]bf )\ I rij), (7.29)
nj=0
где bfbj\tij > = tij |rij ). По внешнему виду это выражение совпадает с
выражением (6.112), если только в последнем заменить операторы а, а+ на
операторы Ь, Ь+, а также
произвести замену Я ->- Я;-, а avj, а' -v a*v* и га -v п}.
Тогда результат вычислений определяется формулами (6.117) и (6.118) и в
новых обозначениях будет иметь вид
Ь/ = ел,АЪ, (7.30)
где
Яш-
V-i (0 = Iа I2 I vi (*) I2 cth ^7-31)
В результате выражение для L = Д Lj принимает вид
3
L = П Li = ехР [- Va 1," I2 ?2 2 I (*) I2 clh Va Я Л . (7.32)
Для суммы, стоящей в экспоненте, можно получить приближенное выражение.
Из формулы (7.19) видно, что величина \vj (t) |2 имеет заметный максимум
при а}- ж со', ибо параметр потерь у является малой величиной. Так как
при этом cth (haj/2kT) является медленно меняющейся функцией частоты со
j, то его можно вынести из-под знака суммы, заменяя при этом частоты (О/
на частоту со'. В результате, если используем соотношение (7.17), получим
2 | Vj (t) |2 Cth^ S" Cth-^r 2 1 Vj (t) |2 =
j i
^cth-||-[l-|"(*)l*]- (7.33)
350 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
Подставив в (7.33) приближенное выражение (7.18) для функции и (г),
получим
L х ехр
где
_|а|"?*(1-^)(-г + 1гЬт)]' (7'34)
X = Гкл/кТ. (7.35)
Для того, чтобы получить явный вид функции F, необходимо точно задать
состояние поля излучения в резонаторе в начальный момент времени t = 0,
т. е. задать конкретный вид оператора плотности р, (0). Ниже мы
рассмотрим несколько частных случаев.
1. Состояние вакуума. Тепловой шум. Предположим, что с помощью
некоторого количества измерений было установлено, что состояние поля
излучения в резонаторе в момент времени t = 0 является состоянием
