Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 10. Энергетические уровни гармонических осцилляторов с частотами оц,
<в2 и 0) = оц -р о2. Процесс (а)-записывается как ах, а2, а+ и
соответствует уничтожению квантов (гц и <а2 и рождению кванта с частотой
о = ац + о2. Процесс (б) записывается как а и соответствует рождению
квантов ы1 и ю2 и уничтожению кванта о.
370
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ [ГЛ. VII
Заметим, что во всех классических теориях параметрического усилителя
всегда предполагается, что возбуждение от накачки значительно больше
величины сигнала. А это значит, что и при квантовомеханическом описании
системы накачки ее можно рассматривать классически.
Кроме гамильтониана взаимодействия вида (7.98) можно в принципе
использовать другой - трехфотонный эрмитов гамильтониан взаимодействия
вида
Я2 = Пк \аха^е'("(+ф) + а+а2е~г("'+:р)]. (7.99)
В согласии с приведенным выше энергетическим рассмотрением этот
гамильтониан соответствует уничтожению двух квантов частоты со2 и со и
рождению нового кванта частоты (Bj (или наоборот). Однако при этом сразу
видно, что будет нарушаться закон сохранения энергии, ибо йсо2 Ясс =р
кшх, если частота ю = ю1 -(- са2. Кроме того, если мы вялючям в реальную
картину взаимодействия гамильтониан Н2, то окажется, что при со = са1 +
со2 величина Н2 будет быстро осциллировать со временем и в среднем будет
давать нуль, тогда как величина Нх будет оставаться постоянной. Это видно
из того, что при малой константе связи к (к ю1, со2) величина ах (t)
будет изменяться со временем приблизительно пропорционально ехр (-?"4), а
величина o.'i' (t) - пропорционально ехр (io>2t). Очевидно, что все эти
соображения являются серьезным аргументом против включения в процесс
параметрического усиления гамильтониана взаимодействия вида (7.99).
С другой стороны, если принять
о = 04 - со2, (7.100)
то гамильтониан взаимодействия типа Н2 будет удовлетворять закону
сохранения энергии, а гамильтониан Нх не будет удовлетворять ему. Как мы
увидим ниже, последний случай выбора вида частоты со будет
соответствовать случаю параметрического преобразования частоты.
После этого обсуждения возьмем для параметрического усилителя
гамильтониан полной системы в виде
На=Н0 + Нх (7.101)
и примем со = (c)! + со2 {Н0 и Нх определяются соотношениями (7.95) и
(7.98)). В силу соотношений коммутации
7.9]
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
371
(7.96) уравнения движения Гейзенберга для операторов параметрического
усилителя принимают вид
i ^
(7.102)
i - = - ща-t + Aei("f+tp>a1.
Мы видим, что гамильтониан взаимодействия Н1 связывает операторы аг и at-
Поскольку уравнения (7.102) имеют тот же вид, что и уравнения для
классического параметрического усилителя [11], то, следовательно, в силу
теоремы Эренфеста гамильтониан взаимодействия Н1 имеет правильный вид в
пределах тех приближений, которые принимаются в классической теории
параметрического усилителя.
Для преобразователя частоты полный гамильтониан будет иметь
соответственно вид
Нс = Н0 + Н2 (7.103)
и и = (c)j - о)2 (Н0 и Н2 определяются выражениями (7.95) и (7.99)).
Уравнения движения Гейзенберга принимают в этом случае вид
- ц)1а1 -f- /се^("(+ф>а2,
(7.104)
i ^ = ю2(r)2 + ке^'+^а^
и мы видим, что гамильтониан взаимодействия Н2 связывает операторы а1 и
а2. Так как уравнения (7.104) совпадают по внешнему виду с классическими
уравнениями для параметрического преобразователя частоты, то это
означает, что вид гамильтониана взаимодействия Н2 выбран правильно.
Нетрудно получить и решения систем уравнений (7.102) и (7.104). Они имеют
вид:
а) для параметрического усилителя
ai (0 - е~г0>1' (ai °h kt -j- ie~lirdt sh kt),
(7.105)
a2 (t) = (a2 ch kt -j- ie~ivat sh kt)\
372
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ
[ГЛ. VII
б) для параметрического преобразователя частоты
ai (t) = e~ia>lt (at cos kt - г'е-{ф an sin kt),
(7.106)
a2 (t) - e~ia(a2 cos kt - sin kt).
Как обычно, операторы ax (t) соответствуют операторам в представлении
Гейзенберга, а операторы aL, не зависящие от времени,- операторам в
представлении Шредингера.
Полученные нами решения будут необходимы при изучении статистических
свойств различных приборов.
Из полученных решений видно, что в случае параметрического усилителя
решения экспоненциально нара> стают с течением времени, а для
преобразователя частоты энергия непрерывно переходит от одной моды с
частотой с"! к другой моде с частотой о>2.
7.10. Статистические свойства параметрического усилителя
Различные моды резонатора с частотами (c)j и о>2 физически эквивалентны
друг другу. Поэтому мы будем изучать характеристическую функцию
электрических и магнитных полей только для одной моды усилителя с
частотой о)х. На практике обычно на такую моду с частотой ю1 ссылаются
как на сигнальную моду; тогда моду частоты о>2 при этом называют холостой
модой.
Мы предполагаем, что накачка включается только в момент времени t = 0,
так что состояние поля в обеих модах описывается простым произведением
операторов плотности
