Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
367
Среднее число квантов внутри резонатора в момент времени t равно
1
<"W>==2"S'K^2 +"2<7>2 +
+ 2Йсо
+ .
TG \ 1 - e
-¦n'
где
Ra>
TL=exp \w-
xh - 1 tg + 1 tg = exp (-
P
hw
*Т*71Г
(7.93)
(7.94)
Первые два члена в выражении (7.93) зависят от внешнего сигнала, в то
время как последние слагаемые дают в итоге спонтанное излучение и
ответственны за квантовый шум в усилителе.
Мы оставляем все эти вычисления в качестве самостоятельного упражнения
для читателя. Подробные детали вычислений можно посмотреть, например, в
работе [65].
7.9. Параметрический усилитель и модель для преобразователя частоты
Основная идея параметрического усилителя весьма проста [11]. Пусть
имеется обычная радиотехническая LC-цепь, в которой возбуждены колебания.
Теперь, если раздвигать пластины конденсатора каждый раз тогда, когда на
них появляются заряды (т. е. два раза в течение периода колебаний в LC-
цепи), то над зарядами совершается извне работа, и в результате этого в
LC-цепь втекает дополнительная энергия. Если пластины сдвигаются обратно
в тот момент, когда на них нет зарядов (это также происходит два раза за
период колебаний в цепи), то при этом не совершается никакой работы.
Таким способом в LC-цепь все время накачивается некоторая дополнительная
энергия с удвоенной резонансной частотой (т. е. с частотой в два раза
большей, чем частота основных колебаний), и колебания в цепи начинают
возрастать.
Если имеются две слабо связанные резонансные LC-цепи с частотами
соответственно coj и со2, то дополнительная энергия может подаваться в
них подобным же образом
3G8
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА АТТЕНЮАТОРОВ
ГЛ. VII
на частоте со = сщ -f- w2. Такая система способна усиливать сигнал,
поданный на ее вход.
Для квантовомеханического изучения такой системы рассмотрим две моды
резонатора с частотами соответственно (t>i и со,. Гамильтониан такой
системы имеет вит;
Н0 = Гтга+ аг + Йша afa2, (7.95)
где операторы щ и af удовлетворяют следующим услови-
ям коммутации:
\аь af] = бу, [аь я,-] = \af, af] = 0. (7.96)
Кроме членов (7.95) в гамильтониане необходимо предусмотреть член,
описывающий взаимодействие внешнего источника энергии с модами резонатора
и со2. Этот член взаимодействия будет обеспечивать подкачку энергии на
частоте
со = coj + со2 (7.97)
в указанные выше моды резонатора. Предположим, что этот член имеет вид
Я! = - Тък [afafe'^г+ф' + а^е'1"'(tm)], (7.98)
где к - постоянная связи. Отметим, что выражение для гамильтониана
взаимодействия типа (7.98) можно получить в приведенном выше классическом
примере LC-цени с помощью изменения емкости или индуктивности.
Обоснованием для такого вида гамильтониана взаимодействия является тот
факт, что оператор Нх, во-первых, эрмитов, а во-вторых, приводит к таким
уравнениям движения Гейзенберга, которые согласуются с классическими
уравнениями движения параметрического усилителя. Это соответствие
является следствием теоремы Эренфеста. В работе [52] была сделана попытка
вывести формулу (7.98) для гамильтониана взаимодействия Нх из основных
принципов квантовой теории, но эта попытка привела к некоторому
несоответствию с уравнениями Максвелла. Точно такое же несоответствие
имеет место и в классической теории. Однако ошибка, возникающая из-за
такого несоответствия, оказывается незначительной, и принятая модель
хорошо согласуется с экспериментом.
7.9]
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
369
Запись гамильтониана взаимодействия в форме (7.98) можно понять также,
исходя из закона сохранения энергии. На рис. 10 показаны энергетические
уровни гармонических осцилляторов с частотами а>15 о>2 и о> = соц + о>2.
Для сохранения энергии в такой системе необходимо, чтобы каждый раз,
когда уничтожаются кванты с частотами с"! и о>2, накачка от внешнего
источника создавала квант частоты о>
(на рисунке этот процесс обозначен через (а)). Этот процесс на языке
операторов рождения и уничтожения можно записать в виде а1а2а+. Здесь
операторы ах и а2 являются операторами уничтожения квантов частоты ы1 и
о>2 соответственно, а оператор а+ создает квант частоты со. Наоборот,
если создаются кванты частоты и (!>2) то должен быть уничтожен квант
накачки частоты о" = а"! + ы2 (на рисунке - процесс (б)).
Этот процесс на языке операторов рождения и уничтожения можно записать в
виде а+ а+ а.
Теперь мы напомним, что когда моды не связаны друг с другом, то операторы
aj (<) и а (t) имеют вид
а} (г) = a,j ехр (- г со/), а (?) = а ехр ( -ш?) (j =1,2).
Если накачка осуществляется на высокие уровни возбуждения (большое
квантовое число), то в этом случае в силу принципа соответствия квантовой
механики система ведет себя классическим образом. Тогда оператор а (t),
соответствующий накачке, можно заменить на коммутирующую (классическую)
переменную а (<) вида а (г) = а ехр [ - г (соt + <р)]. В результате этого
получаем, что два процесса (а) и (б) на рис. 10 соответствуют двум
слагаемым в формуле (7.98).
