Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
принимать комплексные значения. Полное поле получается интегрированием
(17.3):
ОО
?(apt) = -L [ E{co)eik^x~iLdtdco. (17.5)
у 2т: J
- оо
Как видно из (17.2), наибольший вклад в интеграл (17.5) дают гармоники
сшя и>о, что позволяет разложить к(со) в ряд вблизи этой точки:
к(со) = к{соо) + ^{со - w0) + • • • ~ к0 + ^ , (17.6)
к0 = к{со0), vg =
Следовательно,
ОО
E{x,t)~|^ / elk°X^°t(Lj _ (17 7)
2тг J со - coq id
- оо
Для вычисления интеграла (17.7) замкнем контур интегрирования по большой
полуокружности (рис. 8, б), причём при х > vgt контур замыкается через
верхнюю полуплоскость, а при х < Vgt - через нижнюю, чтобы вклад в
интеграл от полуокружности стремился к нулю за счет экспоненциальной
малости подынтегрального выражения. Интеграл по замкнутому контуру легко
вычисляется через вычеты. Так как подынтегральная функция аналитична в
верхней полуплоскости и имеет простой полюс в нижней (при оо = ооо - id),
окончательно получаем
х > Vgt : E(x,t) = 0; (17.8)
x<vgt: Е(х, t) = eikax-iuat{-2m) e~^/va-t) K
и AeikoX~iUot. (17.9)
Учет второй производной cPk/dco2 в (17.6) даёт расплывание переднего
фронта волны (рис. 9).
1.18. Предвестник
41
Е А
Щ->
ct
X
Рис. 9. Электромагнитная волна и предвестник в среде с частотной
дисперсией.
1.18. Предвестник
Если электромагнитное поле на границе среды включается скачком (как в
предыдущем разделе), то в его спектре присутствуют гармоники с большими
частотами, для которых е{и>) -> 1. Высокочастотные гармоники
распространяются в среде со скоростью света и образуют предвестник -
короткий электромагнитный импульс, который бежит перед передним фронтом
основного волнового пакета (рис. 9). Рассмотрим это явление
количественно.
В случае электромагнитных волн функция k(ui), как и е(сэ), аналитична в
верхней полуплоскости. Следовательно, мы можем поднять контур
интегрирования в (17.5) так, чтобы он
А
(c)
(c)
а
42
Глава 1
всюду проходил по области больших частот, где верна асимптотика (15.13)
(рис. 10, а). При больших и> имеем
2 (1-^IV (18.1)
откуда
гА / dui
E(x,t) = ^ I ехр ( ЩА- ( 1----------------------^ ) - iuit )
.
V ' 2тг J ш-ljq + iS V с V 2ш J )
Малой добавкой в знаменателе можно пренебречь:
Е{х' t] = Й / ^ ехр Й " *)" S) • (18-2)
Поведение подынтегрального выражения при удалении от действительной оси
определяется знаком выражения x/c - t, стоящего в показателе экспоненты.
При х > ct подынтегральное выражение экспоненциально убывает при удалении
от действительной оси вверх, поэтому
E{x,t) = 0, х > ct. (18.3)
При х < ct экспонента мала в нижней полуплоскости, потому интеграл (18.2)
не изменится, если контур С замкнуть через нижнюю полуплоскость по
большой полуокружности (рис. 10, а). Замкнутый контур, в свою очередь,
приведём к окружности большого радиуса R (рис. 10,6):
и = Reilp, duj = iReivdip, (18.4)
7Г '
(18.5)
Для вычисления интеграла (18.5) выберем
R =
\
xui?
р (18.6)
2 (ct - х)
1.19. Переходное излучение
43
Тогда
E{x,t) = ^ У ехР y--p~\/2x(ct - х) cospj d(p. (18.7)
- 7Г
Этот интеграл выражается через функцию Бесселя:
7Г
J_ [ p-ia cos Vdlp = Jo(q^
27Г
(18.8)
E(x,t) = AJo ^-^ry/2x(ct - a;)^ . (18.9)
Заметим, что, поскольку радиус контура интегрирования R должен быть
большим, формула (18.9) применима только при X ~ ct.
и2Х
Итак, перед волновым пакетом с резким (по сравнению со временем ш"1)
передним фронтом может появиться предвестник - короткий непериодический
импульс, бегущий со скоростью света (рис. 11). Если поле волнового пакета
нарастает плавно, то предвестника не возникает.
1.19. Переходное излучение
Заряженная частица, пролетая границу раздела двух сред, излучает. Это
излучение называется переходным. Переходное
44
Глава 1
излучение появляется вследствие изменения поляризации среды, а не
ускорения или замедления частицы. Поэтому переходное излучение не зависит
от массы пролетающей частицы.
d
d i W t k
d > t k
t
а о
Рис. 12. Геометрия задачи о переходном излучении (а); ди-польный момент
системы и его производные (б).
Строгая теория переходного излучения довольно громоздка, поэтому
рассмотрим частный случай перпендикулярного влета нерелятивистской
частицы из вакуума в идеальный проводник (рис. 12, а). Воспользуемся
методом изображений. Суммарный дипольный момент частицы и её изображения
d(t) =
2 qvt,
О,
t < О, t > О,
(19.1)
где q - заряд частицы, v - ее скорость, а время отсчитывается от момента
входа частицы в среду. Производные от дипольного момента по времени равны
d(t) = |
d(t) = -2qv S(t)
2qv, t < 0, 0, t > 0;
(19.2)
(19.3)
(рис.12, б). Спектральное распределение полной энергии ди-
1.20. Черепковское излучение
45
польного излучения определяется фурье-образом d:
ОО
d(io) = -^- [ d(t)e~iLOtdt = -^. (19.4)
f
- ОО
Оно дается функцией
2
сП_
doj
Зс3 ' 2 ' ЗтгсЗ '
1 4<?2v2
х ¦ 2 = --~
(19.5)
Множитель 1/2 в формуле (19.5) появляется, поскольку излучение идёт
только в левую половину пространства, а множитель 2 - из-за вклада
