Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
значение а.
Рис. 6. Соответствие контуров интегрирования на плоскости комплексной
переменной ю (а) и е (б).
Для вычисления I перейдем к переменной е\
1= J- [ (15.15)
2т J е- а с
Контур С' на плоскости комплексной переменной е (рис.6, б) проходит через
единицу при ю = сю и через ц(0) при и> = = 0. Участок С, соответствующий
положительной полуоси действительной оси ш и обозначенный '+', будет
лежать в верхней полуплоскости, поскольку в среде всегда есть диссипация
(пусть даже очень маленькая), а для положительности Q при
36
Глава 1
ш > 0 в силу (7.9) нужно Ime > 0. Отрицательная полуось ш в силу (15.7)
перейдет в симметричный относительно действительной оси е участок контура
С (обозначенный '-'). Направление обхода С будет таким, как показано на
рис. 6, б.
Контур С пересекает действительную ось только в двух точках.
Следовательно, если а ? (1,е(0)), то внутри С' появляется один простой
полюс J = 1 и действительное значение а принимается один раз. В противном
случае e{iS) не принимает значения а в верхней полуплоскости переменной
ш.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что e{iS) принимает
действительные значения только на мнимой полуоси 1т и > 0, причём
монотонно убывает на ней от е(0) до 1.
1.16. Теорема Крамерса - Кронига
Аналитическую функцию можно полностью восстановить по её действительной
или мнимой части. Применительно к диэлектрической проницаемости это
означает, что по дисперсии волны (определяемой Ree) можно найти декремент
ее затухания (выражающийся через Ime) и наоборот.
Рис. 7. К доказательству теоремы Крамерса - Кронига (контур
интегрирования).
Получим соответствующие формулы для среды с диэлектрической
проницаемостью (15.1), причём будем считать е(щ) аналитической при Imw ^
0. Выберем wj ? К и вычислим
- \ (c)
интеграл
(16.1)
1.16. Теорема Крамерса - Кронига 37
по контуру С (рис. 7). Поскольку внутри контура подынтегральное выражение
аналитично, этот интеграл равен нулю. С другой стороны,
Шо-р R
/ = /+/+/+/' <162)
С g -R ~ и0+р
причём интеграл по большой полуокружности в силу асимптотики (15.13)
зануляется:
Г e(tv) - 1 f шИ
/ ---------dco = - / - duj--> 0, (16.3)
J tV - tVо J ы3 й^оо
Й Й
интеграл по малой полуокружности сводится к полувычету:
[ ^-----------------dtv = -7гг Res - = -7п(д(и;о) - 1),
(16.4)
J tv -tv0 tv - tv0 ' v v '
rp
а интегралы по участкам действительной оси объединяются в один интеграл в
смысле главного значения. Таким образом,
ОО
/ "(!Г- cap1 = ~ -О' ^16'5^
откуда, взяв отдельно действительную и мнимую части, получаем формулы
оо
yj -^ div = - 7г Im&(o;o)j (16.6)
- ОО ОО
/ ее - cci du) = 7r(Reg(a;o) ~ Р' (16-7)
- ОО
известные как формулы Крамерса - Кронига (Н. A. Kramers, R. L. Kronig,
1927). Формулы (16.6) и (16.7) позволяют по известной мнимой части
диэлектрической проницаемости найти вещественную и наоборот.
38
Глава 1
Мнимая часть е(са) не только положительна при и > О, но и не может быть
пренебрежимо малой во всем интервале частот. Действительно, перепишем
левую часть (16.7) в виде
где в одном из интегралов мы сделали замену w -> - w и воспользовались
нечетностью 1гп?(а>). При и>о -> сю можно пренебречь аз1 в знаменателе
(16.8) и воспользоваться асимптоти-
о
Формулы Крамерса - Кронига и их следствия легко обобщить на среды,
диэлектрическая проницаемость которых имеет полюс в нуле (проводящие
среды).
1.17. Электромагнитные волны в средах с частотной дисперсией
оо
оо
О
/
1гТ1?-(щ)
--------------------dui
СО - Со'о
- оо
О
- оо
оо
оо
оо
/
1гп?-(щ)
со - Up
о
о
о
кой (15.13):
откуда получаем правило сумм:
(16.9)
о
Аналогично при coq -" 0 из (16.8) имеем
оо
(16.10)
Пусть на полупространство, заполненное средой с проницаемостью (15.1)
(рис. 8а), падает по нормали электромагнитная волна с резким передним
фронтом, так что электрическое
1.17. Электромагнитные волны в средах
39
поле на границе (при х = 0)
ЕД) ~ | \е-ш0г-
st
t < 0, t > 0.
(17.1)
Слабое затухание 5 > 0 (д -л 0) здесь введено в формулу для того, чтобы в
дальнейшем избежать неопределенностей при интегрировании. Найдём в
одномерном случае, как эта волна будет распространяться в среде.
^\ЛЛг>
-wv>
СП
-'Шг* о а
Рис. 8. Геометрия задачи (а), замыкание контуров интегрирования (б).
Стандартный метод определения E(x,t) состоит в следующем. На границе мы
разлагаем поле на плоские монохроматические волны, находим закон
распространения отдельной гармоники в среде, после чего интегрированием
собираем из гармоник полное поле в произвольной точке в произвольный
момент времени. Амплитуды отдельных гармоник E(ui) получаем
преобразованием Фурье по времени:
Е(Ш) =
1
Ae-iw0t-6teiwtdt =
iA
л/27г(ш - о>о +
(17.2)
(17.3)
Поле отдельной гармоники
E(x,t) =E(u)eik^x-iLOt, где k(u>) - закон дисперсии электромагнитных
волн,
к(со) = (17.4)
40 Глава 1
причём поскольку мы рассматриваем граничную задачу (временная зависимость
поля в некоторой точке задана), то частота со действительна, а к может
