Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
считать постоянным, хотя из уравнения состояния
(1.10) формально и следует р = const. Это объясняется тем, что
приближение несжимаемой жидкости обычно работает, когда пренебрежимо
малого изменения плотности достаточно для существенного изменения
давления жидкости.
Найдем, когда жидкость можно считать несжимаемой в отсутствие объёмных
сил (д = 0). Для этого оценим входящие в (1.1) слагаемые:
pdivn ~ (1.13)
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики
67
где Хит - характерные пространственный и временной масштабы изменения
течения, v - скорость течения, 5р - возмущение плотности жидкости.
Жидкость будет вести себя как несжимаемая, если оценка последнего
слагаемого будет намного больше первых двух:
/J (1.14)
Выполнение неравенств (1.14) означает, что возмущением плотности можно
пренебречь, поскольку оно не влияет на движение жидкости.
Условия (1.14) можно переписать в более практичной форме. Для этого
оценим 5р при помощи (1.8):
1 v \ 5р <5/з /др\ 5р
X) X X \др) X
"2
pvL (1
<5/3-^ф + f). (1.15)
Производная
ci, (1.16)
как будет показано в разделе 2.10, равна квадрату скорости звука в среде.
Подставляя (1.15) в (1.14), получаем
g(i+f)"f. ^ (1.17)
откуда следуют неравенства
71 Т
L " с8т, у " cs, -- <С 1,
тс8
причём последнее из них есть следствие двух первых. Итак, жидкость можно
считать несжимаемой, если скорость её течения мала по сравнению со
скоростью звука, а время изменения потока как целого велико по сравнению
с L/cs.
68
Глава 2
2.2. Лагранжевы переменные
Наряду с традиционным (или эйлеровым) описанием, состояние движущейся
жидкости можно описывать величинами p(fo,t), r(r0,t) и p(fo,t), где Го -
координаты элемента жидкости в начальный момент времени, а г - его же
координаты в момент времени t. Переменные (fo,t) называют лагранже-выми
переменными. Если в эйлеровых переменных (r,t) характеристики жидкости
привязываются к определенной точке пространства, то в лагранжевых
переменных привязка идет к самой жидкости. Лагранжев подход, однако,
менее распространен, поскольку удобен только в одномерных задачах.
рс,
Хо
1ф О
dx
p(x0,t)
p(x0,L)
р{х0 + d.x0, t)
x(x0,t) x(x0 + dx0j t)
Рис. 20. К нахождению уравнений движения одномерной жидкости в
лагранжевых переменных.
Получим уравнения движения жидкости в одномерном случае в лагранжевых
переменных (xo,t) (рис. 20). Из закона сохранения массы
p0dx0 = p(x0,t)dx, ро = р(хо,0) (2.1)
следует одномерное уравнение непрерывности
¦ (2.2)
Из второго закона Ньютона, записанного для элемента жидкости dx о,
д2х
Podx0-j = -(р{х0 + dxo: t) -p(x0,t)) + p0dx0g (2.3)
2.3. Закон Бернулли 69
следует аналог уравнения Эйлера
д2х _9р . .
Ро~о - ~ о ^ РоЯ- (2.4)
dt2 дх0
Наконец, уравнение адиабатичности сводится к уравнению
9_ dt
-^-s(p(xo,t),p(xo,t))=0. (2.5)
2.3. Закон Бернулли
Можно показать, что в случае стационарного течения (d/dt = 0) некая
величина остается неизменной вдоль линии тока жидкости (т. е. линии,
всюду параллельной v). Найдем эту величину. Для этого введем энтальпию
единицы массы w, так что
dw = Т ds + dp (3.1)
(объём единицы массы равен 1 /р). Из уравнения Эйлера имеем
(W)v = -i ! + <?, (3.2)
откуда путем тождественных преобразований при g = const получаем
-[п х rotп] =-Vw + TVs + V(<fr), (3.3)
V + w - gf'j = [v x rotv\ + TVs. (3.4)
Первое слагаемое в правой части (3.4) ортогонально вектору v. Второе
слагаемое также ортогонально v в силу (1.9):
4^ = уVs = 0. (3.5)
dt
Таким образом, вдоль линии тока остается неизменной величина
v2
- + w - gr = const. (3.6)
70
Глава 2
Это утверждение и составляет закон Бернулли. Заметим, что при его выводе
не предполагалось изэнтропичности жидкости.
Чтобы пользоваться формулой (3.6), нужно выразить w через р и р. Здесь
полезно предположение об изэнтропичности (s = const, Vs = 0). Для
несжимаемой жидкости имеем
Для идеального газа с показателем адиабаты у из уравнений
С помощью закона Бернулли можно легко найти скорость vvac истечения
идеального газа в вакуум из объёма с давлением р и плотностью р:
- скорость звука в газе.
2.4. Теорема Томсона
Введем циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру 7 согласно определению
ds = 0
р
W = - + const.
(3.7)
р = Ар1, dw =
(3.8)
находим
Д7/Я-1
+ const =
7 Р 7-1 Р
- + const. (3.9)
(3.10)
где
(3.11)
Г = vdl.
7
(4.1)
2.4. Теорема Томсона
71
Теорема Томсона гласит, что циркуляция скорости по жидкому контуру (т. е.
по контуру, движущемуся вместе с жидкостью) при изэнтропическом течении
не меняется со временем. Докажем это утверждение.
Представим элемент контура dl как разность координат точек контура 8г
(рис. 21) и вычислим производную
dt dt J J dt
7 7
(42)
Первое слагаемое в правой части (4.2) характеризует изменение потока со
временем, а второе - изменение самого контура. По аналогии с (3.3)
находим
Vs = 0, ^ = -Vw + V{gr).
(4.3)
Поскольку дифференцирование по времени и по пространственной координате
можно переставлять, имеем
-^dSr 5dr 5v2
"~dt="~S~ = = Т'
