Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
имеет смысл только при слабом затухании волны. Но если волна затухает
слабо и можно считать её частоту действительной, то в силу (3.9)
U)fA
Н U> ( * \____ аР /-г о\
а/3 ~ 8тгi ( а/3 ^ ~ 4тгг ^ >
и мы получаем, что мощность диссипации определяется анти-эрмитовой частью
тензора диэлектрической проницаемости:
Q = -^40KE0. (7.9)
1.8. Энергия и импульс волны
По определению, энергией волны W считается разность
между энергией возмущенной среды (с волной) и энергией
невозмущенной среды (без волны). Энергия волны может быть как
положительной, так и отрицательной (что случается, если среда не
находится в термодинамическом равновесии). Это определение, как и само
понятие энергии волны, имеет смысл только для медленно нарастающих или
затухающих волн, когда амплитуда возмущения мало меняется в течение
периода волны.
Энергия волны связана с мощностью диссипации. Действительно, рассмотрим
бесконечную плоскую волну, затухающую с декрементом 7:
\Ё\ ос е~7*. (8.1)
1.8. Энергия и импульс волны 19
Мощность диссипации, квадратичная по электрическому полю, убывает с
удвоенным декрементом:
Q = Qo e~2lt ос |Д2, (8.2)
откуда следует баланс энергии в волне:
dK = _Q = _Qoe~^t_ (83)
at
Интегрируя (8.3), находим начальную энергию волны:
оо
W0 = jQdt=Щ. (8.4)
О
Значит, в любой момент времени
W = ,8.5)
Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать декремент затухания
волны. Найдем его из уравнения (4.5), полагая в последнем
и> = loq - *7, 7 <С loq- (8.6)
Обозначим
= как0 - к2 8а0 + . (8.7)
Поскольку мы считаем волну слабозатухающей, а за затухание волны отвечает
антиэрмитова часть еар, то в уравнении
¦СН + ^н) Дз = о (8.8)
можно второе слагаемое в скобках считать малым и произвести
разложение по малым параметрам. В нулевом порядке по
малостям у и имеем
ЬЁрЫЕор = 0, (8.9)
20 Глава 1
откуда стандартным способом (п. 1.4) находим в первом приближении
дисперсионное соотношение и>о(к) и поляризацию волны Eq. Удержим теперь в
уравнении (8.8) также слагаемые, содержащие малые параметры в первой
степени:
(ь^{и0) (ш0)j Ер = 0. (8.10)
Свернем равенство (8.10) с вектором Е$а. В силу эрмитовости Еа/з имеем
КЛЫЕр = Ер ¦ Е^(са0)Е*а = 0, (8.11)
что позволяет найти у из (8.10):
в уравнении (8.12) мы пренебрегли малым отличием между ю и со0, Е и Е0.
Подставляя (8.12) и (7.9) в (8.5), получаем удобную и очень универсальную
формулу для нахождения энергии волны по диэлектрической проницаемости:
w = йЬ {? Е" <813>
В этой формуле сначала производится дифференцирование
по ui, а потом, если нужно, подставляются дисперсионное со-
отношение из {к) и поляризация для конкретной волны.
В качестве примера найдем энергию электромагнитной волны в диэлектрике с
е = const:
еар = sSa/з = е^р. (8.14)
1.8. Энергия и импульс волны
21
Имеем
w 1 2сое F*F s\E\2
w " 1б^-^-E°Efi ~ w^EaEa ~ 1^' (8Л5)
Волна характеризуется не только энергией, но и импульсом. Когда волна
затухает, её импульс передается среде. Изменение среднего импульса среды
р под действием электромагнитных сил описывается уравнением
|=рММ)- (8Л6)
В случае плоской гармонической волны уравнение (8.16) принимает вид
dp / р I 1
Л = \рЕ + ^
к х Е
3 х
= {[р-ЩЁ+Н>Ё)) = ^- (8Л7)
где разность в круглых скобках равна нулю в силу уравнения непрерывности.
Поскольку импульс, отдаваемый затухающей волной среде, пропорционален
отдаваемой энергии, значит, и полный импульс волны V пропорционален её
полной энергии с тем же коэффициентом:
V = ^W. (8.18)
В формуле (8.18) энергия и импульс волны берутся в расчете на единицу
объёма, т. е. V и W - плотности импульса и энергии волны.
Соотношение (8.18) позволяет рассматривать любую волну (не только
электромагнитную) как совокупность отдельных квантов, каждый из которых
имеет энергию Ни и импульс Нк, где Н - постоянная Планка.
22
Глава 1
1.9. Поток энергии волны
Плотность энергии W характеризует способность волны запасать энергию.
Способность же волны переносить энергию характеризуется векторной
величиной - плотностью потока энергии S. Чтобы найти S, рассмотрим
стационарную слабозатухающую пространственно неоднородную волну (т. е.
волну, в которой поток энергии не зануляется по геометрическим
соображениям и несложно вычисляется):
(r)=0, Ё (х е-*хеи*х-ы wGr. (9.1)
at
Поступаем по аналогии с разделом 1.8. Запишем баланс энергии в волне:
Ц- = -Q = -Q0e-2*x, (9.2)
откуда получаем q
sx = 2-¦ (9-3)
Декремент пространственного затухания х находим, разлагая
(4.5) по малым параметрам. В нулевом приближении из уравнения
Ь^(к0)ЕоР=0 (9.4)
находим дисперсионное соотношение в форме ко = ко(со) и невозмущенную
поляризацию волны Ёо. В первом порядке по малостям имеем
1.9. Поток энергии волны
23
Обобщая (9.6) на две другие координаты (у и г), окончательно получаем
выражение для вектора плотности потока энергии:
Как следует из вывода, при вычислении производной в (9.7) частоту из
следует рассматривать как не зависящий от к параметр.
Известно, что локализованные волновые пакеты движутся с групповой
