Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
отрицательных частот (при записи спектральной интенсивности частота
обычно подразумевается положительной).
Таким образом, при входе в проводник частица равномерно излучает в
широком частотном диапазоне. Проблем с расходимостью полной излученной
энергии при этом не возникает, поскольку при больших частотах
1.20. Черенковское излучение
Частица, которая движется в среде со скоростью, превышающей фазовую
скорость света в этой среде, излучает свет. Это излучение называется
черенковским (П. А. Черенков,
Механизм возникновения черенковского излучения виден на следующем
примере. Пусть в среде есть электромагнитная волна с электрическим полем
и частица с зарядом q, движущаяся по закону г = v (рис. 13, а). Со
стороны волны на частицу будет будет действовать сила
е(щ) -> 1
dui
(19.6)
1934).
Ё(г, t) = E0eiUff-iLOt
F = qE(vt, t) = qE0el(-(20.1)
46
Глава 1
При условии
и> = kv (20.2)
эта сила не будет меняться со временем и обеспечит эффективный обмен
энергией между волной и частицей: частица будет тормозиться или
ускоряться в зависимости от фазы поля. Если до прилёта частицы волн в
среде не было, то они появятся, причём только такие, для которых
выполняется условие черен-ковского резонанса (20.2).
а о
Рис. 13. Геометрия задачи о черенковском излучении (а), выбор переменных
интегрирования по dk (б).
Как следует из изложенного выше, черенковский механизм излучения может
работать для любых волн, возможных в среде, а не только для
электромагнитных. Черенковское излучение вызывается не ускорением
частицы, потому оно не зависит от массы. Поскольку черенковское излучение
не связано с диссипацией, то оно обратимо: частица может как излучать
волну, так и поглощать её (если волна была в среде до прилёта частицы).
Черенковское излучение невозможно в свободном пространстве, поскольку в
вакууме волна всегда бежит со скоростью света, а частица - медленнее
скорости света.
Для электромагнитной волны в изотропном диэлектрике с проницаемостью е(ш)
условие (20.2) принимает вид
kv cos в =
кс
(20.3)
1.20. Черенковское излучение 47
Следовательно, волны с частотой и> будут излучаться только при условии v
> с/и под углом в(ил), таким, что
cos 6(ui) = -с (20.4)
vy/e(uj)
Найдем спектральную интенсивность черенковского излучения в изотропной
среде с диэлектрической проницаемостью е(и). Для этого через
преобразование Фурье найдем поле, создаваемое заряженной частицей в месте
её расположения, и вычислим работу этого поля над частицей.
Одиночная заряженная частица создает в среде ток
j(r,t) = qv 5(r - vt); (20.5)
его фурье-образ
j(k,u) = -[ qv 5(г - vt) e~l*r+iutdrdt =
(2тг)2 j
= (fV / (2°-б)
Создаваемое частицей поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в фурье-
представлении, которые в данном случае принимают вид
\гк хЩ= Щ-В, (20.7)
[г* х в] = -lfsE+^j(k,uj). (20.8)
Подстановка В из (20.7) в (20.8) даёт
[к X [к X Щ ] = ~^?Ё + Ш), (20.9)
к(Ш)-к2Ё=-^еЁ+2^6(и-Ы). (20.10)
V / С1 гг2
Скалярно умножая (20.10) на к, находим
48 Глава 1
подставляем это выражение в (20.10):
Е Л 4fe)c2'
-к Н Е = -- о (и - kv) \ v--------------------
и получаем комплексную амплитуду отдельной плоской гармоники
, 2iquSlu-kv) ( k(kv)c2
E(k,r) = { 2 Ч v- К . (20.12)
С [к - Г е f С ) 1 ?ОГ
Обратное преобразование Фурье даёт нам поле частицы:
E(r,t) = -^ [ E(k,uj)ei,;f-iLOtdkduj. (20.13)
(2тг)2 J
Полная мощность излучения I равна работе, совершаемой полем в единицу
времени, взятой с обратным знаком:
I=-qvE(vt,t) (20.14)
или
I = -ilfl [ (л -
4тг2с2 J к2-и2е/с2 у ear I
(20.15)
Чтобы найти распределение мощности излучения по спектру, нужно в
выражении (20.15) провести интегрирование по всем возможным значениям
волнового вектора. Для этого представим dk в виде
- dk2, d(kv)
dk = kj_ dk± dk\\ dip = -------------- dip (20.16)
(рис. 13, б). Интегрирование no dip и d(kv) благодаря симметрии
задачи и наличию ^-функции производится тривиально:
iq2 Г lu(v2 - c2/s)
2ttc2v J к\+ lu2/v2 - щ2е/с2
1.20. Черенковское излучение
49
Интеграл (20.17) даёт нам полную потерю энергии частицей. Эта потеря
энергии может идти по двум каналам. Во-первых, энергия тратится на
черенковское излучение. Во-вторых, энергия идет на нагрев, возбуждение
или ионизацию частиц среды. Эти потери называют ионизационными, даже если
ионизации как таковой не происходит. Ионизационные потери сопровождаются
диссипацией энергии поля, потому в формулах они учитываются через
ненулевую мнимую часть диэлектрической проницаемости. Так как Ime ф 0 при
to > 0 (раздел 1.15), то диссипация в среде есть всегда и черенковское
излучение всегда сопровождается ионизационными потерями.
Можно, однако, разделить два канала потерь, формально устремив Ime к нулю
в формуле (20.17). Получившийся интеграл будет описывать только
черенковское излучение, не связанное с диссипацией. Сразу положить Ime =
0 нельзя, поскольку тогда в выражении (20.17) появляется математическая
неопределенность из-за неинтегрируемой особенности в знаменателе и
