Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
(волны (к,ил)) и один раз Ё* (волна (-к. -ил)), построить нельзя. Другие
четырехволновые взаимодействия (генерация третьей гармоники) нас пока не
интересуют, потому соответствующие им нелинейные слагаемые опущены.
58 Глава 1
Вектор Е*, вообще говоря, не параллелен Е. Например, при круговой
поляризации волны Е* и Е вращаются в противоположные стороны:
Е сс , Е* ос . (23.3)
Это усложняет анализ самофокусировки. Однако в частных случаях линейной
(Е || Е*) и круговой (ЕЕ = 0) поляризации волн векторы D и Е всегда
параллельны и можно считать
Ё=(е(ш) + т1(ил)\Ё\2^Ё. (23.4)
Далее рассмотрим именно такой случай. Также будем считать нелинейные
добавки малыми:
\г](ил)\¦ \Ё\2 <С е(щ). (23.5)
Найдем закон изменения почти монохроматического локализованного пакета
электромагнитных волн:
Ё = Ё0(г71) eikaz~iwt, ко = (23.6)
где Ёо(г,?) - медленно меняющаяся функция. Для этого исключим из
уравнений Максвелла быстроосциллирующие экспоненты. Из (1.2) и (1.13)
имеем
rot rot Ё = Vdiv Ё - АЁ = - \ Д(1) _ 1 d2D^) (23 7)
с2 dt2 с2 dt2
Из уравнения
div D = (е + г/\Ё\2) divЁ + ЁУ(т]\Ё\2) = 0 (23.8)
находим, что дивергенция Е содержит сразу два малых пара-
метра (rj и градиент от медленно меняющейся функции):
¦пЁЧ\Ё\2
di v? = -4--------------------------(23.9)
? + 1)\Ё\2
и потому в (23.7) слагаемым с divi? можно пренебречь.
1.23. Самофокусировка
59
По определению лапласиана
АЁ =
,ikoz-iu>t^ (23.10)
где
Л - д2 , д2 ЛД - + -пт
дх2 ду2
(23.11)
Последним слагаемым в квадратной скобке в уравнении (23.10) можно
пренебречь, так как оно имеет второй порядок малости (вторую производную
от медленно меняющейся функции).
При вычислении правой части (23.7) нужно учесть, что локализованный
волновой пакет не может быть строго монохроматическим. Для разных
частотных гармоник его спектра проницаемость е разная. Чтобы корректно
учесть это обстоятельство (частотную дисперсию), разложим Eq на
монохроматические гармоники до взятия производной:
Поскольку амплитуда пакета меняется медленно, то его спектр узок (ли! "
ш), и можно разложить подынтегральное выраже-
е(и + дш) (и + Дщ)2 E0(auj) e^-^+^dAuj.
(23.12)
60 Глава 1
ние в ряд, после чего заменить дш на id/dt:
1 d2DW =
с2 dt2
eik0z-icot f f 2 du}2e\ ~ -iAcotj.
--------_ I \ UJ S(lo) A id--- I Er\(Aid) 6 Cl Aid -
C2^ J V ^ У
CJ2g 7^ ikoz-icot ft did^S Q jkoz - icot _
~~ C2 ° c2 dujdt
= {pk^"-i§d-§L)e'h,^' =
= к2Ё0 - егк^~ш\ (23.13)
где vg = duj/dko - групповая скорость электромагнитной волны.
В производной от Dудерживать малые дисперсионные поправки не нужно,
поскольку Л(3) уже содержит малый параметр г]:
-Т д2(r)Т = -^ri\E\2E0elkoZ-lLOt. (23.14)
с2 dt2 с2
Подставляя (23.10), (23.13) и (23.14) в (23.7), имеем -ДцЛо - 2 гк0^ -
2j^d-§- ^\Ё?Ё0 = О,
А + ЛЛ") Е0 = -АуДдЛо - иУЁ°}2Ё0. (23.15)
dz v9 dt J 2гк0 2гк0с2
Комбинация производных в левой части (23.15) выражает собой тот факт, что
возмущения амплитуды переносятся в направлении распространения волны с
групповой скоростью. Первое слагаемое в правой части ответственно за
дифракционное расширение пакета. Уравнение (23.15) с г/ = 0 известно как
параболическое уравнение теории дифракции. По своей форме оно совпадает с
уравнением диффузии (с мнимым коэффициентом диффузии г/2ко).
1.23. Самофокусировка
61
Рис. 17. Нелинейная самофокусировка пучка. Стрелками показано направление
потока энергии.
Второе слагаемое в правой части (23.15) описывает нелинейную фокусировку
(р > 0) или дефокусировку (г) < 0) волны. При большой напряженности поля
нелинейная фокусировка может полностью подавить дифракционную
расходимость: фазовая скорость волны оказывается в области пучка меньшей,
нежели на периферии, волновые фронты становятся сходящимися и энергия
пучка концентрируется у оси (рис. 17). Условие полного подавления
дифракции можно получить, сравнив слагаемые в правой части (23.15):
Е0 Au2rjEf kR9 < к с
< , ' °, (23.16)
где R - характерный радиус пучка, а А - коэффициент порядка единицы,
зависящий от распределения энергии пучка по радиусу. Переписав
неравенство (23.16) в форме
ЕП 9 г3
т^R2c > с
8тг 8тгАи>2г) '
легко видеть, что нелинейная фокусировка доминирует, когда мощность пучка
превышает некое критическое значение:
Р > Рсггг- (23.17)
Это явление и называется самофокусировкой.
Глава 2 Г идродинамика
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики
Гидродинамика - это наука о движении жидкостей и газов. Законы движения
этих двух сред оказываются одинаковыми, потому всюду далее мы будем
говорить о жидкостях, имея в виду также и газы.
В гидродинамике жидкость всегда рассматривается как сплошная среда. Это
значит, что, даже говоря о бесконечно малом элементе объёма, мы
подразумеваем объём с большим число частиц. Соответственно гидродинамикой
описываются только явления с характерным масштабом, много большим длины
свободного пробега частиц.
Идеальной называется жидкость, в которой нет диссипативных процессов
(вязкости и теплопроводности).
