Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
Состояние жидкости полностью характеризуется её плотностью р, скоростью v
и давлением р как функциями координат (г) и времени (t).
Движение жидкости подчиняется уравнению непрерывности
которое есть прямое следствие закона сохранения массы:
(1.1)
(1.2)
v
S
Здесь слева стоит изменение массы объёма, а справа - масса вещества,
пришедшего в объём.
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики
63
Аналогично можно записать выражение для изменения ст-компоненты импульса:
дру0
dt
ап,
а(3
дх
А
Р9а
(1.3)
Здесь рд - это объёмная сила (например, сила тяжести), действующая на
единицу объёма жидкости, а Па/д - так называемый тензор плотности потока
импульса, равный потоку ст-компоненты импульса через единичную площадку,
перпендикулярную направлению /3.
dF
vp
Рис. 18. К вычислению конвективной (а) и силовой (б) составляющих потока
импульса.
Импульс в жидкости может переноситься двумя способами. Во-первых, он
течет вместе с жидкостью. За единицу времени через единичную площадку aS@
проходит объём жидкости, равный vp (рис. 18, а). Эта жидкость несет с
собой импульс vp ¦ pv, в том числе его ст-компоненту в количестве pvavp-
Во-вторых, передача импульса происходит за счет действия внутренних сил.
Предположим, что на некий объём жидкости (aV) через площадку dSp со
стороны других частей жидкости действует сила dF и других сил нет (рис.
18, б). За время dt этот объём приобретет импульс dFdt, чему
соответствует поток импульса через единицу площади, равный dF/dSp.
64
Глава 2
На микроскопическом уровне появление "силовой" составляющей импульса
можно проиллюстрировать так (рис. 19, а). Частица с импульсом ро
отражается от границы рассматриваемого объёма, меняет свой импульс на -
ро и отдает импульс 2ро объёму.
Ро
~Ро
-F
а о
Рис. 19. Иллюстрации возникновения силовой составляющей потока импульса
(а) и ненулевого потока импульса в покоящейся жидкости (б).
В идеальной жидкости между отдельными её частями могут действовать только
силы давления, потому тензор плотности потока импульса принимает вид
п а/з = PVaVj3 +р5ар.
(1.4)
Последнее слагаемое здесь означает, что на любую единичную площадку в
жидкости действует сила, равная р и направленная по нормали к площадке.
В неидеальной жидкости выражение для импульса, передаваемого за счет
внутренних сил, оказывается более сложным. Эту "силовую" составляющую
тензора Па/д называют либо тензором давления (ра/3), либо тензором
напряжений (ттар) в зависимости от знака перед ней:
П-а/З - Р'^а'Ор "Ь Ра/3 - Р'^а'О/З ЗТар.
(1.5)
Интересно отметить, что импульс течет по жидкости даже тогда, когда вся
жидкость покоится. Этот кажущийся парадокс связан с тем, что импульс -
векторная величина. Например,
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики
65
когда частицы летят (рис. 19, б), они переносят импульс рох в Рох в
направлении х, а когда влево - импульс -рох в направлении -х, так что
вклады частиц, летящих "туда" и "обратно", складываются и суммарно
переносится импульс 2рох по х или -2рош в противоположном направлении,
что одно и то же. Таким образом, в жидкости всегда есть поток импульса в
любом направлении.
Уравнение сохранения импульса идеальной жидкости обычно записывают в
иной, нежели (1.3), форме. Чтобы получить её, подставим (1.4) в (1.3),
раскроем производные и воспользуемся уравнением непрерывности:
dpva dpvaVf3 др5а/3
- л--------------------л-------------------Ь рда,
ot UXfi С/Х ft
dip dp dpvp dip
',дг + 1'"й + 1'"агу+то*; =
= + = + о-6"
Комбинацию производных в круглых скобках традиционно называют полной или
субстанциональной производной и обозначают d/dt. Если обычная производная
d/dt определяет изменение величины в фиксированной точке пространства, то
полная производная определяет изменение величины в точке, движущейся
вместе с жидкостью со скоростью v:
i = I + fibI+(3V>- <IJ)
Полученное уравнение
pft=-Vp + pg (1.8)
называется уравнением Эйлера и выражает собой простой факт: произведение
массы единичного объёма жидкости на его ускорение равно действующей на
объём силе.
66
Глава 2
В отсутствие диссипации энтропия любого элемента жидкости не меняется со
временем. В частности, для энтропии единицы массы s имеем
0. (1.9)
at
Уравнения (1.1), (1.8) и (1.9) полностью определяют характер движения
идеальной жидкости.
Если в начальный момент времени энтропия s была одинакова во всех точках
жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной и при дальнейшем
движении жидкости. Такое движение называется изэнтропическим. Уравнение
адиа-батичности в этом случае принимает особенно простой вид:
s(p,p) = const или Р=р{р)- (1-Ю)
Всюду далее мы будем считать течение изэнтропическим.
Другое часто встречающееся упрощающее предположение - это предположение о
несжимаемости жидкости:
| = о. (1.11)
Если в начальный момент плотность несжимаемой жидкости была всюду
одинакова, то в дальнейшем
р = const, divn = 0, р ф 0. (1-12)
Последнее неравенство здесь выражает тот факт, что давление нельзя
