Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
нулю. Можно легко показать, что это требование выполняется. Если временно
принять Q = 0 и сделать уравнения однородными, то получающийся
определитель не сможет обратиться в нуль, поскольку если бы это было
возможно, то каждый из коэффициентов R можно было бы выразить как кратное
одного из них. Т. е. ¦^п(п2 - 1) - 1 коэффициентов можно было бы выразить
как кратные оставшегося, просто опуская одно из уравнений и решая
остальные. Таким образом, обозначив выбранный коэффициент через аг, мы бы
тогда получили
R = аг(многочлен степени п - 2, не равный тождественно нулю).
/2 у2 2 \
Но тогда выражение ( ^ Н-у + дг ~ 1) Д было бы многочленом, удов-V а
Ъ с /
летворяющим V2^ = 0 и обращающимся в нуль на эллипсоиде. Поскольку по
теореме I это невозможно, следовательно, определитель для коэффициентов
не может быть равным нулю. Отсюда при заданном Q всегда можно найти Д, а
значит, и Р.
Определение. Если Q выбирается как многочлен Ламэ порядка п вида
1 Точнее, чтобы существовало единственное решение системы алгебраических
уравнений. - Прим. ред.
194
Глава IX
причём V2Q = 0, то соответствующий многочлен Р будет называться
многочленом Пуанкаре.
Поскольку Q будет иметь в пространстве вид LkMkNk, следовательно, оба
многочлена на поверхности эллипсоида сводятся к поверхностной функции
Ламэ MfclVfc.
Теорема III. Если Р - многочлен Пуанкаре степени п, то функция D\(P)
сводится на эллипсоиде только к сумме поверхностных функций Ламэ MkNk
порядка п.
Чтобы доказать это, допустим, что риф - два любых различных решения
уравнения Пуанкаре. Тогда, обозначая через р, как обычно, перпендикуляр
из центра к касательной плоскости в произвольной точке эллипсоида, имеем
. рхдф рудф / 4ш2\ргдф 2ш(Р%дф ру дф\
рВД;) = 7S " j* teJ =
ох ду \ А / oz А \ ду дх J и, аналогично, меняя А на -А,
где I, то, п - направляющие косинусы внешней нормали к эллипсоиду. Тогда
поверхностный интеграл на эллипсоиде принимает вид
JJ{rD\W - фО_х(р)}рдБ =
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби 195
= JJJ{ipVlip - ip'Vl(p}dxdydz = 0,
поскольку риф удовлетворяют уравнению Пуанкаре.
Теперь предположим, что Р - многочлен Пуанкаре степени п, сводящийся на
эллипсоиде к произведению функций Ламэ MN того же порядка п, и что ф = Р.
Также допустим, что р = Р', где Р' - любой другой многочлен Пуанкаре
степени т < п. (Здесь тип, конечно же, являются целыми числами, а не
только что использовавшимися символами для направляющих косинусов в
поверхностных интегралах.) Тогда из предыдущего результата
P'D\(P)pdS = JJ PD_x(P')pdS.
Но правая часть этого выражения сводится к нулю, т. к. D-\(P') является
просто многочленом степени ш < п, и поэтому может выражаться как сумма
функций Ламэ MN порядка т и ниже, т. е. порядка, ниже, чем п. Это значит,
что
?>_л(Р0 = Е AkMkNk - порядок любого члена, меньшего п. к
Также
Р = MN, где порядок равен п.
Но по свойству ортогональности
J j MNMkNkpdS = 0.
Отсюда
JJ P'Dx(P)pdS = 0.
Поэтому D\{P) на эллипсоиде ортогональна всем функциям Ламэ порядка,
меньшего, чем п. Но в пространстве D\{P) является многочленом степени п,
поэтому, исходя из этого результата, он должен сводится на эллипсоиде к
сумме функций Ламэ, также имеющих порядок п.
196
Глава IX
(При любом другом значении порядка интеграл не мог бы исчезнуть
Следовательно, если рассматриваются 2п + 1 независимых многочленов Ламэ
LMN порядка п, a Pi, Р2, ..., Р2П+1 обозначают соответствующие многочлены
Пуанкаре, то на эллипсоиде должны существовать связи следующего вида:
где постоянные /щд, рационально зависят от А, т.к. D\{P) содержит А
только рационально.
Аналогично, D_\{P) на эллипсоиде сводится к сумме функций Ламэ степени п,
а коэффициенты также рациональны по А.
Теорема IV. Если ф - любая функция, удовлетворяющая уравнению Пуанкаре,
то постоянные разложения D\(tp) порядка п, рассматриваемые как функции
точки на поверхности эллипсоида, являются линейными комбинациями с
фиксированными коэффициентами постоянных разложения порядка п только
функции ф.
Чтобы доказать это, воспользуемся результатом, к которому мы пришли,
доказывая теорему III, а именно,
Здесь мы запишем, что ip = Р - многочлен Пуанкаре порядка п, который на
эллипсоиде сводится к произведению Ламэ MN порядка п. В пространстве Р
будет соответствовать определённому многочлену Ламэ LMN того же порядка
п. Соответствующая постоянная разложения в Р\(ф) будет равна
1 Вдумчивый читатель, конечно, разберется, но все же уточним, что речь
идет о порядке функций Ламэ соответственно а) для многочлена D\(P) и б)
для многочлена Р'. - Прим. ред.
для каждого Р', имеющего порядок меньший, чем п.)1
2n+1
D\{Pi) - 1 + + . • . + hi:2n+lP2n+l ~
Ы:кРк^
1
jj (pD\ty)pdS = jj фО_\(р)рdS.
то есть
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби 197
Но по теореме III D_\(P) на эллипсоиде сводится к сумме функций Ламэ
только порядка п. Таким образом, этот интеграл равен линейной сумме
постоянных разложения ф только порядка п. Это и доказывает теорему.
