Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что если рассмотреть на поверхности разложение ф в сумму
произведений Ламэ Fi (например, равных MN) и взять члены порядка п, т. е.
Ф = . . . + (ci-Fi + C2F2 + . . . + C2n+1^2ra+l) + • • • 1
то каждому Fi будет соответствовать многочлен Пуанкаре Р, и мы можем
считать, что ф в пространстве даётся формулой
Ф = • • • + (ciPi + С2Р2 + • • • + C2n+lP2n+l) + • • •
Тогда по теореме IV
2п+1
DX (ф) = ЕЕ Cihi'kPk в пространстве,
г, к=1 2п+1
р>\{Ф) = ЕЕ Cihi^Fk на эллипсоиде.
г, к=1
Отсюда полное значение 0\{ф) на поверхности будет
D\(Ф) = . . . + Cj/lyiPi + Сг^гдРг + ...)+...
г г
Теперь задача заключается в том, чтобы найти такое решение уравнения
Пуанкаре ф, для которого на эллипсоиде ф и 0\(ф) имели бы постоянные
разложения по эллипсоидальным гармоникам вида 2тг(Но - Hk)Ak и (А2 -
Aio2)Ak соответственно. Поэтому, чтобы удовлетворить этому требованию, мы
получаем следующие условия для А:
2п+1
(\2 - Аи2)Ак = 2тг ^ hi,k(H0 - НфАг (к = 1, 2, ..., 2п + 1), (15)
7 = 1
и эти условия, очевидно, дают 2п + 1 однородных линейных соотношений
между Ак, в которых коэффициенты hi)k рационально зависят от А.
198
Глава IX
Постоянные разложения и (а в действительности, постоянные D\(xjj))
задаются поэтому системой из бесконечного числа таких линейных и
однородных уравнений. Но эта система распадается на бесконечное число
частных систем, каждая из которых состоит из конечного числа 2п+1
уравнений и такого же числа неизвестных. Это значит, что постоянные
соответствуют данному порядку п и входят в 2n +1 однородных уравнений, не
содержащих постоянных, отвечающих любому другому порядку. Уравнения для
допустимых значений Л получаются путём приравнивания нулю определителей
каждой из этих частных систем. Соответственно, для каждого отдельно
взятого порядка п они ведут к рациональному алгебраическом}' уравнению
для Л конечной степени.
Ниже покажем, что степень уравнения по Л, соответствующей порядку п,
всегда равна n2 + 4n + 1. Корни этого уравнения затем дают частоты т^-
возможных (малых) колебаний, а тогда и для любого выбранного корня Л
уравнения (15) дают отношения коэффициентов Ai : А% : ... : A2n+i,
связанные с гармониками при колебании. В дополнении к этому, Картан
показал, что вышеописанный способ применим фактически ко всем частотам,
включая и те, которые находятся в промежутке от -2ш до 2ол
5. Обыкновенная устойчивость
В нашу задачу не входит получение подробных выражений для малых колебаний
эллипсоидов Якоби, обладающих вековой, а поэтому и обыкновенной
устойчивостью. Нам необходимо только рассмотреть вопрос о том, сохраняют
ли они обыкновенную устойчивость за конфигурацией, в которой впервые
исчезает вековая устойчивость. По определению предполагается, что при
обыкновенной устойчивости все корни по Л должны быть вещественными,
потому что если бы хоть один корень был мнимый или комплексный, то
существовало бы движение, в котором смещение (в первом порядке малости)
возрастало бы до бесконечности. Кроме того, в данном случае невозможно,
чтобы движение,
JU-+ let
зависящее от такого члена, как е , возникало в отсутствии члена е . Для
каждого решения уравнений (5) здесь существует соответствующее решение,
симметричное относительно ??-плоскости, но с измененным знаком Л,
поскольку вид уравнений сохраняется, если изменяются
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
199
знаки у, 7] и Л. Это показывает, что корни последнего уравнения по Л,
полученного из уравнения (5), как и следовало ожидать, разбиваются на
пары равных и противоположных по знаку Л. Между прочим, данное заключение
нельзя было получить из общего результата для конечных (по числу степеней
свободы, Б. К.) вращающихся систем.
Если эллипсоид обладает вековой устойчивостью относительно смещений
порядка п, его потенциальная энергия будет иметь абсолютный минимум,
поэтому система будет автоматически устойчива в обычном смысле, и все
корни уравнения по Л будут обязательно вещественными. Соответственно
когда система развивается вдоль ряда Якоби в направлении возрастающего
углового момента, вопрос об обыкновенной неустойчивости впервые возникает
для гармонических деформаций третьего порядка. Далее будет показано, что
при этих смещениях обыкновенная устойчивость исчезает одновременно с
вековой устойчивостью. С физической точки зрения это равносильно тому,
что эллипсоиды Якоби неустойчивы в обычном смысле на всех стадиях за той
критической формой, в которой ответвляется грушевидный ряд.
Чтобы доказать это, необходимо более подробно рассмотреть уравнение для
возможных значений А, но, как оказывается, результат зависит только от
наибольших и наименьших членов уравнения. Их мы и рассмотрим.
6. Степень уравнения для Л при колебаниях порядка п
Как мы уже видели, малые колебания исследуются интегрированием уравнений
(а) <
Здесь ф - многочлен степени п от х, у, z, а ?, у, С, - многочлены степени
п - 1 от х, у, z. Эти многочлены не являются однородными, но число
