Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентов в членах высшей степени в ф равно ^(п + 1)(п +
+ 2), а в каждом из ?, у, ( это число есть ^п(п + 1).
^ = А2? + 2ш\у, дф
ду д(
- _ Л у - 2гшХф (b) -w- + -к- + -к- - 0.
ду
§f = A4,
дх ду dz
(16)
200
Глава IX
Теперь видно, что ф и и должны иметь связанные формы
ф = 2тг - Hk)AkMkNk,
a2 b2 ' с;
Отсюда, если Rk = LkMkNk - любой многочлен порядка п, то
Комбинируя полученные результаты, имеем следующие 2п + 1 условий на ф, ф
г/, ф вытекающие из соотношения между ф и сг,
где все интегралы берутся по поверхности эллипсоида.
Как было показано, уравнение для Л, дающее частоты колебаний, получается
путём исключения коэффициентов в многочленах ф, ф ту, ф Чтобы получить
частоты порядка п, необходимо исключить коэффициенты при членах высшего
порядка от х, у, z в многочленах ф, ф ту, ф поскольку именно они содержат
постоянные, связанные с гармониками MN порядка п. Члены более низкого
порядка будут содержать постоянные, соответствующие поверхностным
гармоникам также более низких порядков. Будет удобно, однако, оставить те
же обозначения (ф, ф г], ф для соответствующих частей этих многочленов,
содержащих только члены высшего порядка.
Для более подробного рассмотрения процесса исключения, запишем ф = А(р,
тогда уравнения (5) или (16) принимают вид
jj Якфрдв = 2тг(Н0 -Hk)AkLk jj MkNkpdS, jj RkcrpdS = AkLk jj MkNkp dS.
jj R^pdS = 2ir(H0-Hk) jj Rk^+^v+^c)pdS, (17)
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
201
вместе с
Л// Rk<ppdS = 2iv(H0-Hk) JJ Rk(^+^V+^()pdS. (19)
Предположим, что исключение начинается с коэффициентов многочлена который
теперь относится непосредственно к высшим членам
Ф
первоначального = -. Если рассмотреть три уравнения (18) (в ори-Л
гинале опечатка (18а), Б. К.), включающих р, то коэффициент таких членов,
как хг, уг или zr, в р появится только один раз; коэффициент таких
членов, как xrys, yrzs или zrxs, появится в двух местах, а коэффициент
члена вида xry8 zl появится в трёх местах. Предположим, например, что
многочлены обозначаются через
р = апхп + ... + ar,sxry3 + ... + arjSitxryszt
? = bn-1хп~1+... +br-itSxr~1ys+ br,s_1xrys~1+ ... + br-1,syxr~1yszt+ +
br,3-1,txrya-1zt + briSjt-ixryszt~1 + ... r) = c"_\xn~1 + etc.
С = dn- щ"-1 + etc.
Тогда из уравнения = Х? + 2icori получаем следующее тождество:
ох
папхп~1 + (гг - 1)ап-1рхп~2у + ...
... + гаг< sxr~1y8 + ... + rar, s< txr~1y8zt + ... =
= Wfin-ix11^1 + bn-2j ixn~2y + ¦¦¦
... + br-lt3xr~1ys + ... + br-i^jtxr~1yszt + ...]+ 2iuj{cn-1xn~1 + ¦ ¦ -
].1
Приравнивание коэффициентов различных членов даёт следующие необходимые
соотношения между исходными коэффициентами:
х"_1 : пап = A6"_i + 2iucn-i
хп~2у : (п - 1)а"_1,1 = АЬи_2д + 2iwc"_2,i
хг гу8 : rarjS = \br-ijS + 2itocr-\iS
х ух.'. TQ>r,s,t - "Ь 2iu)cT-\^sy.
(20)
1B оригинале в последней строке ошибочно стояло сп+\. - Прим. ред.
202
Глава IX
Очевидно, что коэффициенты в <р, связанные с такими членами, как хг,
которые появляются только один раз в этих уравнениях, не могут быть
исключены на данном этапе. С другой стороны, коэффициенты в <р,
определяющие такие члены, как xrys, появляются дважды и могут быть
исключены. Число таких коэффициентов равно 3(гг - 1). Поскольку уз-члены
не умножаются на Л в трёх уравнениях (18), исключение этих коэффициентов
приводит к 3(n - 1) соотношениям, линейным по Л и по коэффициентам
многочленов ф г], ф
Далее рассмотрим коэффициенты в <р, которые связаны с такими членами, как
afyszt. Каждый из них трижды появляется в уравнениях (18), а полное число
таких коэффициентов будет ^((п + 1)(гг + 2) -
- 3(гг - 1) - 3), а именно ^ (гг - 1) (гг - 2). Они могут быть исключены
двумя независимыми способами, что даёт два уравнения, линейных по Л и
коэффициентам, связанным с ф г], ф т. е. всего (гг - 1) (гг - 2)
уравнений.
Таким образом, исключение коэффициентов р с помощью (18) даёт число
уравнений
3(гг - 1) + (гг - 1)(гг - 2) = гг2 - 1,
в каждое из которых Л и коэффициенты многочленов входят только линейно.
Также отметим, что ни один из коэффициентов р не появляется умноженным на
Л ни в одном из уравнений, полученных из (18), и следовательно, если
значения этих коэффициентов, выраженных через ф г/, ? (и Л), подставить в
левую часть уравнения (19), то Л появится как в первой, так и во второй
степени.
Теперь полное число коэффициентов, которые осталось исключить, просто
равно числу коэффициентов ф г] и ( вместе взятых, т. е. ^гг(гг + 1). Для
этой цели у нас уже есть n2 - 1 уравнений, линейных по коэффициентам ф
г], ? и содержащих также Л в первой степени. Также есть 2п + 1 уравнений,
полученных из (19), которые содержат А как в первой, так и во второй
степени. И наконец, существуют уравнения, следующие из Фу(ф г], () = 0,
которые дают ^гг(гг -1) соотношений, не содержащих А вообще. Таким
образом, полное число уравнений суть
(¦п2 - 1) + (2п + 1) + ^гг(гг - 1) = |гг(гг + 1),
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
203
а это и есть необходимое нам число. Поэтому исключить коэффициенты ф г/,
