Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
С можно с помощью определителя Д"(А), в котором первые п2 - 1 строк
содержат элементы порядка А, следующие 2п + 1 строк содержат элементы
порядка А2,
Поскольку корни определителя ДИ(А) = 0 попарно равны и противоположны по
знаку, то число п2 + Ап + 1, будучи чётным, даёт удвоенное число
возможных независимых гармонических движений, а если оно нечётное - это
же удвоенное число плюс единица. Таким образом, при п = 3 полное число
независимых гармонических колебаний устойчивого эллипсоида Якоби равно
одиннадцати.
7. Степень п2 + 4п + 1 всегда достигается
Следующим шагом является доказательство того, что эта степень всегда
достигается. В противном случае это означало бы следующее: если в системе
уравнений, дающих в итоге определитель Д"(А), сохранялись бы только члены
высшей степени по А, то в итоге система уравнений была бы линейно
зависимой.
Необходимо напомнить, что те коэффициенты при А, которые могут быть
исключены, не принимаются поначалу во внимание, чтобы обеспечить 3 (гг -
1) соотношений между коэффициентами многочленов ф г/, ф а это та система
уравнений, в которой теперь остаются только члены с А. Если записать Ах =
</?, тогда прежде всего исключаются коэффициенты х- Таким образом, после
того как остались только высшие члены по А, линейная зависимость
равносильна условию согласованности следующей системы уравнений:
остальные ^гг (гг - 1) строк содержат элементы, не зависящие от А.
Следовательно, степень результата по А равна
п2 - 1 + 2(2 п + 1) = п2 + Ап + 1.
= 0, т. е. V2x = 0,
(21)
204
Глава IX
Но если бы эта система уравнений выполнялась, это значило бы, что х
является гармоническим многочленом степени п, ортогональным всем
многочленам Ламэ степени п, а такого быть не может.
Отсюда следует, что показатель высшей степени Л, возникающий в Д"(А),
равен п2 + 4п+ 1-
8. Форма постоянного члена в Д"(А)
Этот член легко получить, если взять А = 0 в каждом элементе
определителя. Тогда, если в 2n + 1 строках, полученных из уравнения (17),
записать А = 0, то оставшиеся члены будут иметь общий множитель Но - Нк-
Полагая А = 0, уравнение (17) приводится к виду
0 = 27T(tf0-tffc) JJ Rk(^+^V+jiC)pdS,
где правая часть является линейной по коэффициентам (многочленов) ?, г/,
С и не содержит А. Следовательно, в Дга(А) постоянный член содержит
каждый из коэффициентов устойчивости Но - Нк в качестве множителя, и
поэтому он содержит 2п + 1 таких множителей. Прежде всего, мы имеем
2п+1
Д"(0) = М П (Но - Нк),
1
где М - некоторый множитель, который мы рассмотрим далее. Такую форму мы
и ожидали получить по аналогии с системами, имеющими ограниченное число
степеней свободы (см. стр. 41).
Теперь перейдём к рассмотрению следующего вопроса: исчезает ли М при
каких-нибудь конкретных условиях? Если бы М было нулём, это предполагало
бы согласованность уравнений, полученных при подстановке А = 0 в
уравнения (16) и (17), т.е. система уравнений
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
205
была бы согласованной. Если допустить, что это так, то легко понять
дуэ
смысл этих уравнений. Поскольку -7- = 0, то w должна быть независи-
oz
мой от z. Отсюда ?, у тоже независимы от г, т. к. они пропорциональны
производным от ip. Тогда имеем
д( _ dS, ду _ i / d2ip д2р \ _
dz дх ду 2ш\дхду дуд х)
Отсюда и ? не зависит от 2. Следовательно, выражение
JL c+y_r)+z_c=_J^(x_^P_y_^P\ + Lz
а Ъ2 с 2ш\а2ду Ъ2 dz) ^ с2
является многочленом степени п, содержащим z только в первой степени, что
явно видно из последнего члена. Но тогда последнее из уравнений (22)
означает, что этот многочлен (линейный по г) сводится на
поверхности эллипсоида к сумме многочленов Ламэ порядка, меныне-
а Ъ с
из многочленов ?, у, ? имеет степень гг -1. Следовательно, должно быть
го, чем п. Но степень -%¦? + -^у + обязательно равна гг, т. к. каждый
4С + 4- 4с = (многочлен степени п - 2)(4 + ^ + 4 - +
a1 bz с \а 6 с /
+ многочлен степени гг - 1 или меньшей.
Но ?, у, ? представляют теперь однородные многочлены (поскольку для того,
чтобы найти Д"(А), мы оставляем только члены порядка гг),
а отсюда -%¦? + Ц-у + 4тС тоже является однородным многочленом сте-а Ъ2
с2
пени п. Поэтому, если мы перепишем выражение в виде
-? + -у + - а2 Ь2 1 с2
{х2 У^ ?
(однородный многочлен степени п - 2) - -|-- Н-
V а2 b2 ~2
-а2 Ъ2 с2 многочлен степени п - 1 или меньшей,
то оно будет однородным многочленом степени п, а отсюда последний член
(записанный курсивом) должен равняться нулю. Таким образом,
206
Глава IX
у 2 у2 2
выражение -щ?+-д"7+чтС должно делиться на Д- + ^. Однако это
а Ъ2 с а2 Ъ2 с2
невозможно (т. к. z содержится только в первой степени1), если только это
выражение тождественно не равно нулю. Последнее же требует, во-первых,
чтобы ? = 0, поскольку член с z должен обратиться в нуль тождественно, а
во-вторых,
Это второе требование означает, что р зависит единственным образом
членом, то последний должен быть пропорционален просто некоторой степени
данной комбинации. Кроме того, поскольку его степень равна п, мы должны
