Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Литтлтон Р.А. -> "Устойчивость вращающихся масс жидкости" -> 58

Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.

Литтлтон Р.А. Устойчивость вращающихся масс жидкости — Иж.: НИЦ, 2001. — 240 c.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostvrasheniyamass2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 76 >> Следующая

пространстве должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных
производных второго порядка
Обычно это уравнение называют уравнением Пуанкаре. Мы имеем также, по
определению сг,
>2 а 2л _ х dtp , у dtp , (Л z dtp
= *<*>¦ <">
ду Ь2
Здесь, исходя из данного определения D\(tp), можно отметить следующее:
если tp - многочлен степени п, то и D\(tp) является таковым. Таким
образом, задача сводится к следующему:
Найти такое решение tp уравнения Пуанкаре, определённое внутри эллипсоида
и на его поверхности, чтобы на поверхности эллипсоида tp и D\{tp) имели
постоянные в их разложении по эллипсоидальным гармоническим функциям
соответственно в виде:
2ir(H0-Hk)Ak и (Л2-4uj2)Ak.
4. Свойства уравнения Пуанкаре
Перед тем как приступить к решению нашей задачи, необходимо установить
некоторые свойства уравнения Пуанкаре. Они формулируются ниже в теоремах
I-IV.
Предположим, что Л может принимать любые значения: вещественные,
комплексные или чисто мнимые, исключением будут лишь вещественные
значения в промежутке - 2а; ^ А ^ 2и>, т. е. единственно допустимыми
вещественными значениями Л будут либо Л2 > 4а;2, либо А 2
1---> 0. Доказательства, основанные на этом ограничении, мож-
но применить непосредственно к обсуждению устойчивости, поскольку к ним
можно обращаться, чтобы показать невозможность мнимых значений Л. Другими
словами, мы можем доказать, что допущение мнимых Л приводит к
противоречию.
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби 191
Теорема I. Уравнение Пуанкаре не обладает другими исчезающими на
поверхности эллипсоида решениями, кроме тождественного ф = 0.
(Очевидно, в общем случае этот результат не будет верным для
а 2 2 ^
1 - Щг- < 0, т. к. тогда + + - 1 было бы решением,
обра-
А а2 Ь2 с2
щающимся в нуль на эллипсоиде при А, удовлетворяющем уравнению
1 _ 4ш2 _ 1/а2 + 1/Ь2
А2 " 1/с2
Чтобы доказать это, используем лемму Грина (или так называемую теорему о
дивергенции)1
jj{lU + mV + nW)dS = jjj^L + ^ + ^dxdydz,
где левый интеграл берётся по поверхности эллипсоида, а объемный - по его
внутреннему пространству. Обозначая через ф комплексную функцию,
сопряженную с решением уравнения Пуанкаре ф, возьмём для U, V, W
выражения:
Подставляя это в формулу Грина, имеем
JJJ X дх дх ду ду V А2 / dz dz J У 1
поскольку остальные члены в правой части, умноженные на ф, исчезают, т.
к. ф удовлетворяет уравнению Пуанкаре.
Если теперь допустить, что ф исчезает на поверхности, то и ф тоже должна
вести себя подобным образом. Отсюда левая часть предыдущего выражения
равна нулю. В таком случае, интеграл в правой части
*В русскоязычной литературе её обычно называют теоремой Гаусса -
Остроградского. - Прим. ред.
192
Глава IX
тт дф дф дф дф
тоже должен исчезнуть. Но -д- • --, как и -- • --,
является вещест-
дх ох оу оу
венным и положительным. Отсюда, если Л2 - комплексное
или чисто
мнимое число, то исчезновение мнимой части интеграла справа даёт
дфдф дф :
Но поскольку ПОВСЮДУ тт- • тт- ^ 0, поэтому и -- = 0. Отсюда мы
OZ OZ OZ
дф дф
должны также иметь -- = -- = U.
ох оу
Точно так же, если Л2 - вещественное, а 1-> 0, получается тот
же самый результат, поскольку все три члена справа теперь заведомо
неотрицательны. Отсюда ф постоянна внутри эллипсоида, а т. к. она
исчезает на поверхности, то должна повсюду равняться нулю.
Отсюда сразу следует, что уравнение Пуанкаре может иметь только одно
решение, принимающее данные значения на поверхности эллипсоида, т. к.
если бы ф\ и ф2 были двумя разными решениями, принимающими одни и те же
значения на поверхности, то ф\ - ф2 было бы решением, принимающим нулевое
значение на поверхности. Соответственно, разность ф\ - ф2 была бы нулевой
всюду внутри эллипсоида, т. е. ф\ = ф2-
Теорема II. Всегда существует многочлен Р(х, у, z) степени п, который
удовлетворяет уравнению Пуанкаре и принимает на эллипсоиде те же самых
значения, что и произвольно взятый многочлен Q{x, у, z) той же степени.
Для доказательства этого утверждения следует установить существование
многочлена R(x, у, z) степени п - 2, такого, что многочлен, определённый
формулой
'х2 , 1? Z2
' а" b2 с"
является решением уравнения, т. е. V2P = 0. (Предполагается, что входящие
сюда многочлены не являются однородными.) Теперь R, име-
д'ф
1 Очевидно, что одновременно и -7- =0. - Прим. ред.
OZ
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
193
ющая степень п - 2, содержит -^п(п2 - 1) коэффициентов, которые пока
находятся в нашем распоряжении. Запись условия V2P = 0 даёт
VjQ + ^ -j + ^ \72Д + 4 ^ ' (const)2;^^ + (const)P = 0.
а С X,y,z
Выражение в левой части этого уравнения имеет ^п(п2 - 1) коэффициентов,
поскольку оно тоже имеет степень п - 2. Все коэффициенты полинома Д
входят в уравнение только линейно, отсюда условия для его исчезновения
дают достаточное число линейных уравнений для определения gfi(n2 - 1)
коэффициентов R.
Теперь для того, чтобы процесс решения стал возможным1, необходимо, чтобы
определитель уравнений для неизвестных коэффициентов в Д не равнялся
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed