Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
моментов
При смещениях и поворотах кристалла как целого. В
простейшем
10
случае, когда тензор Unm сводится к скаляру, эти условия принимают форму
2t/"m = 0, JjUnnm = 0. (1.26)
m m
Поэтому уже простейшее возмущение подобного рода, отвечающее изменению
упругой связи между парой соседних атомов, расположенных, скажем, в
точках 0 и 1, имеет вид
а|ф> <ф|,
где а-величина изменения связи, а
фп = -p=r(6no - Sni), (1.27)
т. е., подобно (1.20), является хотя и одномерным, но недиагональным
оператором проектирования. Однако ограничение, накладываемое условиями
(1.26), существенно только для акустической ветви. Для оптических ветвей,
так же как для модели сильной связи (1.6) в случае электронов, это
ограничение несущественно и поэтому качественно однопримесное возмущение
можно рассматривать как точечное. В решеточном случае это отвечает тому,
что атом имеет измененную связь с положением равновесия. Подобная
ситуация приводит к отличным от нуля предельным частотам, что как раз и
характерно для оптических ветвей в многокомпонентных кристаллах. В рамках
модели с одной ветвью колебаний трансляционно инвариантной части полного
гамильтониана существование "абсолютных" положений равновесия должны
обеспечивать тяжелые атомы второго сорта, ко-
леблющиеся существенно более медленно, чем легкие. Отметим также, что
предположение об однозонности Н° в решеточном случае означает отсутствие
взаимодействия между смещениями в направлении различных базисных векторов
решетки.
Сходный вид имеют линеаризованные уравнения колебаний магнитного момента
в неупорядоченных магнитных системах. Роль условия (1.26) играет здесь
закон сохранения полного спина. Однако, в отличие от решеточного случая,
где недиагональные элементы, будучи упругими постоянными, всегда
положительны, в магнитной системе это не всегда так - антиферро-
магнитное, диполь-дипольное и косвенное взаимодействия приводят к
отрицательным и знакопеременным элементам Яп_т. В таких случаях условие
(1.26) часто оказывается несущественным.
В итоге можно сказать, что все обсуждавшиеся решеточные модели допускают
единую запись:
Н"ф+2^Рп^=>.'1>, (1.28)
п
где Н°-трансляционно инвариантная часть, Цп - случайные параметры, Р" -
операторы проектирования на достаточно хорошо
20
локализованные функции, X-энергетический параметр, который может, вообще
говоря, входить и в левую часть уравнения (1.28). В случае уравнений типа
сильной связи (1.6) для электронов или экситонов X является энергией этих
возбуждений. В случае "истинно" дискретных моделей, являющихся по
существу классическими, элементарные возбуждения возникают лишь после
квантования соответствующих амплитуд, и поэтому X не совпадают с энергией
возбуждений. Так, в случае решетки, как хорошо известно, энергия фононов
пропорциональна со, а не со2. Аналогичная ситуация имеет место и в случае
спиновых волн.
Заканчивая обсуждение одночастичных моделей неупорядоченных систем,
необходимо отметить следующие два обстоятельства. Во-первых, число
разнообразных моделей, используемых и изучаемых в современной чрезвычайно
обширной литературе по физике неупорядоченных систем, существенно больше,
чем то, что было указано в настоящем пункте. Мы привели здесь лишь
некоторые, по нашему мнению, весьма типичные и наиболее часто
встречающиеся, и даже в настоящей книге мы неоднократно будем
сталкиваться с такими, которые не были упомянуты в этом, носящем в
значительной части вводный характер, пункте. Во-вторых, почти все
обсуждавшиеся нами модели возникали в результате тех или иных приближений
и предположений, справедливых лишь в определенных интервалах энергий и в
определенных областях изменения определяющих эти модели параметров.
Однако в силу их внутренней непротиворечивости и того, что одни и те же
модели могут возникать в различных физических ситуациях, а получаемые при
их исследовании результаты зачастую интересны и тогда, когда носят
качественный характер, каждая из таких моделей может быть рассматриваема
во всей области энергий и при всевозможных допустимых значениях
фигурирующих в ней параметров. Подобная ситуация, которая часто будет
встречаться и в дальнейшем, не является, очевидно, специфической для
теории неупорядоченных систем, а представляет собой общее для всей
теоретической физики свойство модельных рассмотрений.
1.2. Структура и примеры вычисляемых величин. В силу наличия в системе
случайных параметров уровни энергии Еп и отвечающие ¦м состояния (г) тоже
будут случайными. Однако обычно нужны ве сами Еп и ф,,, а некоторые
другие, сконструированные из них объекты. Так, для выяснения
термодинамических свойств неупорядоченных систем в принятом одночастичном
приближении необходимо знать плотность состояний, т. е. величину
МО = У"126 (?-?") (1.29)
п
¦рв V -+- оо, или
pv(E) = V-'Spd(E-H).
21
Из последней формулы следует, что плотность состояний, как: и должно быть
в термодинамике, не несет информации о структуре состояний системы. В
