Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
подобъемах:
*) Подобное разбиение производится при доказательстве существования
макроскопического (термодинамического) предела термодинамических
потенциалов (см., например, [13]).
28
В силу пространственной однородности статистические свойства всех Fj
одинаковы, а если R достаточно велико, то Fj при различных j
статистически независимы в силу свойства исчезновения корреляций. Поэтому
F}- принимают независимо друг от друга все возможные значения. Значит,
если число V/Vj подобъемов Vj велико, то в сумме по j встретятся Vj
практически с любыми возможными значениями F/f и поэтому такое
суммирование эквивалентно суммированию по всевозможным реализациям|какой-
то одной Fj (какой именно, неважно, так как система ^однородна в
среднем). Таким образом, для макроскопических ^объемов V~xFv совпадает со
средним V~)Fj по реализациям. Но последняя величина является
детерминированной и равной при достаточно больших V/ среднему по
реализациям исходной величины V~xFy.
Однако фактическое доказательство самоусредняемости на этом пути
оказывается технически довольно громоздким (см., например, [19, 20]).
Более коротким, хотя и несколько менее прозрачным является иной путь,
использующий введенные в § 2 понятия и континуальный интеграл [21, 22].
Схема такого доказательства самоусредняемости величин (1.29), (1.30),
(1.33) состоит в следующем. Вместо каждой из этих величин рассматривается
ее преобразование Лапласа по энергетическим переменным, которое, конечно,
является само усредняющимся одновременно с оригиналом. Далее это
преобразование Лапласа выражается через ядро Kv{r, г';/) оператора ехр(-
Шу), где Hv - оператор, задаваемый уравнением (1.1), и затем для Kv
пишется известное [14, 23] представление Каца - Фейнмана через
континуальный интеграл Винера по траекториям броуновского движения.
Поскольку это представление "явно" содержит потенциал U (г), то после
несложных преобразований и оценок рассматриваемые выражения приводятся к
такому виду, когда для доказательства самоусредняемости достаточно
применить эргодиче-скую теорему (2.3).
Перейдем к более подробному изложению и начнем с плотности состояний,
предполагая сначала, что U (г) ^ 0. Как указывалось, для доказательства
самоусредняемости р (Е) достаточно установить, что при V -> оо функция
Рг (0 - S Pv (?) ехР (-Щ dE> t > 0, о
R
Рис. 1.
29
с вероятностью \ стремится к неслучайному пределу. Но со-гласно (1.29)
PF(0=V"Sexp(-'E"i),
П
ИЛИ
Pv J ^г(г" п 0*. (3.1)
У
где Kv(г, г'; f) - ядро оператора ехр(-Ш^). Для него имеем следующее
представление [14, 23]:
/Су (г, г'; t) = (4л/)~3/*ехр ( - ** ) X
(;t, г-г') , t ч
X $ ехр(- 5 U(r(s) -\-r)ds) xv,t [г (s) 4- г] ^>г (s), (3.2) (о, о) V
о /
где ^...*2)r(s) обозначает интеграл по траекториям r(s) броуновского
движения в трехмерном пространстве, таким, что г(01=0, г(/) = г - г'
(интеграл Винера), а
( 1, если r(s) внутри V при s^/,
%v,f[r(s)] в противном случае. .
Функционал Xy.t вводится под знак винеровского интеграла для того, чтобы
функция /Су(г, г'; t) удовлетворяла нулевым граничным условиям по г. Для
операторов, определяемых уравнением (1.1) и другими граничными условиями,
соответствующее представление записывается сложнее.
Подставим представление (3.2) в (3.1). В результате получим
Pv(0 =
(U 0) / t ч
= (4л/)"*'Ч'"1 J dr J expf - J U(r(s) + r)ds )-%Vtt [r (s) + r] S>r (s).
V (0.0) \ 0 /
(3.3)
Рассмотрим величину
(t. 0) , t 4
R{r) = J expf-Jtf(r(s)+r)ds (r)r(s).
{0. 0) N. 0 /
Очевидно, R (г) есть результат применения оператора сдвига Tf к
функционалу от U(г) вида
(t. 0) / t ч
R = J expf - J U (г {s))ds j^)r(s).
{0, 0) \ о /
и, о)
Поэтому, если бы в (3.3) под знаком интеграла Винера jj ... ?dr(s)
(0.0)
30
не стоял функционал %y,t[r (s) + г], то сходимость такого выражения при У
-*- оо с вероятностью 1 к неслучайному пределу следовала бы просто из
эргодической теоремы (2.3). Следовательно, для окончания доказательства
достаточно убедиться в том, что с вероятностью 1
".О) , t ч
lim V-1 J dr J expf - $?/(r (s) + r)ds )(1 - Xv,f[r(s)+r])^r(s)=0. v (0.
0) \ 0 /
Так как ?/(r)^0, то для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы для
каждой фиксированной траектории выполнялось условие
lim У"1 J xr,ttr(s) + r]dr=s 1,
V-+°o у
что очевидно. Таким образом, самоусредняемость плотности состояний
доказана.
Заметим теперь, что изложенные рассуждения не только устанавливают факт
самоусредняемости плотности состояний, но и дают представление через
интеграл Винера для преобразования Лапласа неслучайного предела р (Е), к
которому pv (Е) стремится с вероятностью 1 при У -+<х>. Действительно,
основной шаг в нашем доказательстве состоял в применении эргодической
теоремы. Но последняя не только устанавливает существование неслучайного
предела стоящей слева в (2.3) величины, но и дает выражение для этого
предела в виде среднего по реализациям. Поэтому в соответствии с (2.3)
и (3.3) будем иметь
