Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
{Щ (гх, г3; 0) яДРа операторов ехр (-f-Щ) (ехр(-Шу''0)). Все они являются
неотрицательными, симметричными по гх и г2 функциями и удовлетворяют
неравенствам
ЯИгц г*'" Wri* г2; 0 < /CV (**i, г2; f), f3 ^(ri. г2; 0<^(i*i. г2; r2;
t),
где индексами 0 и 1 обозначены ядра операторов, отвечающих функции а, (г)
в (3.9), равной тождественно нулю и единице соответственно (задачи
Дирихле и Неймана). Эти неравенства можно получить, например, с помощью
формул Грина.
Каждая пара функций Kv и Щ связана соотношением, приведенным в начале
этого пункта. Написав его для п = 1 и 0 и вычитая одно из другого, найдем
с учетом (3.10):
0 ^К\-К*у^к\-Щ. (3.11)
Поскольку, так же как и в (3.1),
р? (0 а J pi (Е) e-Et dE = -Ь j.W. r; t)
V
то, в силу (3.10), достаточно убедиться в том, что для каждой реализации
потенциала
или, имея в виду (3.11), что аналогичное равенство справедливо для
функций k\ и k°v. Доказательство же этого последнего равенства можно
получить путем непосредственного подсчета, поскольку функции k\ и Щ
известны (см., например, [24]).
Заметим теперь следующее. Выше мы предполагали, что все реализации
случайного потенциала ограничены снизу. Если отказаться от этого
предположения, то сразу возникает вопрос о конечности функционала
М^] = (е*р{- S ^(r(s)+r)ds|), (3.12)
v о J
фигурирующего в окончательных формулах типа (3.4) (в случае t/(r)^0 имеем
/*[?/]< 1). Но, используя неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим [14], а также свойство пространственной
однородности случайного потенциала,
34
найдем, что
(exp f- f U{г (s))dsi}=(exp [- -J-'J tU(r (s))ds\)<
l о J l о J
t
^ <exp {-tU(r(s))}>ds = <exp (-tU(0))>.
о
Поэтому, если при всех t > О
<ехр (-tU(0))> < оо,
то функционал (3.12) конечен при всех t >0 и формулы, в которые он
входит, имеют смысл. Можно показать, что и все полученные выше выводы
остаются справедливыми в этом случае.
Изложенный способ доказательства самоусредняемости не является
единственным. Другие способы, кроме упомянутых в начале параграфа,
предложены в [25, 41].
§ 4. Общие свойства спектров неупорядоченных систем
4.1. Плотность состояний и границы спектра. Попытаемся теперь выяснить,
что можно сказать о спектре отдельных реализаций случайного оператора Н в
предположении, что неупорядоченная система обладает свойствами
пространственной однородности и исчезновения корреляций в далеких точках.
Эти свойства, как мы видели, удобно выражать в терминах оператора сдвига
Та, определенного формулой (2.2). Используя этот оператор, можем,
очевидно, написать следующее соотношение:
Р(г, г'; ?; [Та*/])=ф(г -а, г'-а; Е; [?/]), (4.1)
где р(г, г'; Е; [t/]) -оператор 6(? - Н) в координатном представлении с
явно указанной зависимостью от случайного потенциала U {г).
Рассмотрим величину
v(?; [?/]) -$р (г, г; Е\ [U])dr.
Из (4.1) вытекает, что v(?; [Ta?/]) = v(?; [U]), т. е. что v(?; [{/])
является инвариантной относительно Та случайной величиной. Но тогда v не
может зависеть от U, так как в противном случае оператор Та имел бы в Q
нетривиальное инвариантное подпространство, что противоречило бы свойству
исчезновения корреляций (см. § 2). Иными словами, при наших
предположениях о случайном потенциале v(?; [?/]) является
детерминированной величиной. Поэтому
v(?)~<v(?; [?/])> = J <p(r, г; ?)>dr.
В силу пространственной однородности (см. (4.1)) подынтегральная функция
в этом выражении не зависит от г. Значит,
2*
35
если при данном Е оказывается, что <р(г, г; Е)>*= 0, то v(?) = 0, а^если
<р(г, г; Е)> > 0, то \ (Е)=*оо. Так как v(E)dE есть число точек спектра
оператора Н в окрестности Е, а <р (г, г; Е)у = ==р (Е) (см. (3.7)), то
установленный факт можно сформулировать еще и так: окрестность каждой
точки Е либо с вероятностью 1 (т. е. для каждой реализации) не содержит
точек спектра оператора Н, либо с вероятностью 1 содержит бесконечное
число их. Какая из этих двух возможностей осуществится, зависит от того,
равна нулю или нет предельная плотность состояний в данной точке.
Следовательно, плотность состояний, будучи неслучайной величиной, дает
тем не менее определенную информацию о структуре спектра отдельных
реализаций, причем всех сразу. Это показывает, в частности, что спектры
всех реализаций совпадают, так как они все. состоят из точек, в которых
отлична от нуля неслучайная функция р{Е). Этот факт позволяет ввести
понятие истинных границ спектра как неслучайных точек, при переходе через
которые плотность состояний обращается в нуль. Действительно, в силу
изложенного, с той стороны границы, где плотность состояний отлична от
нуля, обязательно будет присутствовать спектр каждой реализации
неупорядоченной системы, и наоборот. Последнее утверждение позволяет
также находить истинные границы. Рассмотрим, например, случайный
потенциал вида
U{г) = 2 "о (г-п), (4.2)
П
где векторы п пробегают некоторую правильную решетку, а функции ип (г)
являются случайными и принимают значения иг (г) и щ (г) с вероятностями
