Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
си 1 -с соответственно (в простейшем случае (г) и "2 (г) могут быть
прямоугольными барьерами разной высоты). Такой потенциал можно взять в
качестве модельного для описания неупорядоченного двухкомпонентного
сплава с концентрациями компонент си 1 -с.
Из доказанного выше свойства плотности состояний следует, что она должна
быть отлична от нуля уже при энергиях, больших чем минимальная из нижних
границ спектра каждой из чистых компонент, которым соответствуют
периодические потенциалы, построенные только из функций мх(г) или только
из и2(г). В самом деле, при любой концентрации всегда найдутся такие
достаточно большие участки реализаций, построенные только из функций
одного сорта, спектр которых имеет нижний край, сколь угодно близкий к
указанному минимальному значению *).
*) В одномерном случае и при Uj (ж) = kj8 (я) специальное рассмотрение
показывает, что описанная ситуация имеет место на границах всех зон.
Именно оказывается, что спектр всех случайных реализаций состоит из
точек, которые входят в спектр хотя бы одной из чистых компонент [7, 27,
28].
36
Таким образом, оказывается, что в рассматриваемом примере положение
истинной границы не зависит от концентрации компонент. Последняя может
определять лишь величину плотности состояний в окрестности границы
(подробнее см. гл. II и IV). Аналогичная ситуация имеет место и для
потенциала (1.7), отвечающего аморфной среде. В этом случае, если и (г) ^
0 (случай отталкивания), истинными границами являются точки Е = 0 и Е -
оо, а если м(г)^0 (или, в более общем случае, если min и (г) < 0),
Г
то точки Е - - оо и Е = оо.
Для дальнейшей детализации истинных границ разделим их на два типа-
устойчивые и флуктуационные. Первые-это такие границы, в окрестности
которых спектр возникает за счет любых реализаций потенциала. Такими
границами являются, например, область больших энергий для уравнения
Шредингера и нижний край акустической зоны в фононном спектре. Вблизи
таких границ плотность состояний обычно асимптотически совпадает с
плотностью состояний некоторой эффективной упорядоченной системы
(подробнее см. п. 7.3). Что же касается флуктуационных границ,ток этому
типу мы будем относить границы, в окрестности которых спектр присутствует
за счет очень маловероятных нетипичных участков случайного потенциала.
Так, в рассмотренном примере потенциала (4.2) в окрестности указанной
выше границы спектр возникает за счет участков, застроенных атомами одной
из чистых компонент, т. е. только функции их (г) или только ы2 (г). Ясно,
что вероятность таких флуктуаций в рельефе потенциала экспоненциально
стремится к нулю с ростом объема застроенного участка, и поэтому
плотность состояний вблизи подобной границы должна быть весьма мала (как
мы увидим в гл. IV, она, как правило, экспоненциально мала).
Для потенциала (1.7) флуктуационной границей будет точка ? = 0 в случае
отталкивания и Е = -оо в случае притяжения, а в фононном спектре-это
верхний край акустической зоны в случае тяжелых примесей. Другие примеры
флуктуационных границ будут возникать в последующих главах.
Здесь же следует упомянуть еще об одном способе различать границы
указанных двух типов. Именно, как ясно из сказанного выше, положение
флуктуационной границы зависит от характера неупорядоченности системы
(формы примесного потенциала и (г), статистики положений примесей гу- в
уравнении Шредингера, значений масс атомов и упругих связей между ними
для уравнений колебаний решетки). Напротив, положение устойчивой границы
остается неизменным при любых таких изменениях случайных параметров
системы.
Как правило, границы спектра являются особыми точками для плотности
состояний. Весьма интересными являются и другие особые точки. При этом
может оказаться, что особенности четко проявляются лишь в пределе
бесконечно малой степени неупоря-
37
доченности, но тем не менее являются существенными при исследовании
спектра и состояний, возникающих вблизи подобной точки. Рассмотрим,
например, потенциал (4.2) с и± < 0 и "а = 0. Пусть яма их (г) такова, что
в ней содержится один уровень Ел. Тогда ясно, что при с->0 плотность
состояний в окрестности Еп будет иметь^б - образную форму : р (Е) ~ с б
(Е - Ел). При с Ф 0 особенность р(?) размывается и изучение характера р
(Е) как функции обоих аргументов Е и с представляет собой интересную и
трудную задачу, при решении которой факт существования примесного уровня
оказывается очень существенным (см. гл. VI). Подобным образом обстоит
дело и в окрестности границы невозмущенного спектра (т. е. спектра
соответствующей упорядоченной системы).
Исследование спектра в окрестности особых точек интересно еще и потому,
что именно в этой области, как правило, происходит перестройка квантовых
состояний и их систематики. Вблизи этих точек возмущение, вносимое
случайным потенциалом, уже не может считаться малым в смысле малого
воздействия на состояния или спектр, однако наличие некоторых малых
