Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
этом смысле более содержательной величиной является спектральная
плотность
о,(К, E)^V-^b(E-E")\^"(r)e'"dr\\ (1.30)'
п V
ИЛИ
av{к, ?)=^K-lSp(e*"'a(? -Н)?Г*?), (1.31)
где г-оператор координаты. Через эту функцию, точнее, через ее аналог,
построенный для уравнений колебаний (1.23), выражается вероятность
рассеяния нейтронов и характеристики оптического поглощения [8, 9].
Плотность состояний и спектральная плотность являются, в терминах
статистической физики, аддитивными величинами. В качестве важного примера
более сложной, бинарной, величины приведем тензор электропроводности в
переменном электрическом поле частоты со:
Re <тар (о) = lim j dE [лР (Е)-пр (Е +<¦>)] F? (?, ? + ш), (1.32)
где гаР (?) = (1 + ехр 1 -фермиевская функция распреде-
ления, р-химический потенциал,
Ff(E, ?') = 4У- 2 04.8 (Е-Еп) 6 (E'-EJ,
п, т
(1.33)
V "
или
F$*(E, ?') = 4y-iSp(pa6(?~H)pp6(?/-H)), (1.34)
где р-оператор импульса -iy. Написанные соотношения представляют собой
хорошо известную в кинетической теории формулу Кубо-Гринвуда для
линейного отклика ток-внешнее поле, преобразованную с учетом
одночастичного характера системы (см., например, [И]).
Перечень подобных примеров можно продолжить. Мы не будем здесь этого
делать, так как, во-первых, соответствующие величины будут фигурировать
далее в тех местах, где о них пойдет речь, и, во-вторых, так как ясен
принцип их построения: в качестве таковых можно брать разнообразные
нормированные на единичный объем, аддитивные по объему величины,
вычисленные в соответствии с их микроскопическим определением и с учетом
используемого приближения, в котором система представляет собой идеальный
газ квазичастиц во внешнем (случайном) поле. Ясно,
22
что все такие величины в конце концов выразятся через уровни энергии Еп и
состояния фп уравнения (1.1).
Можно написать также выражения для всех подобных величин через функцию
Грина G (Е) - (Е-Н)*"1 уравнения (1.1). Для этого достаточно учесть
следующее известное соотношение:
6(?_H) = K'4mG(?-/0). (1.35)
Приведем соответствующие выражения, используя координатное представление
G(r, г'; Е) функции Грина:
pv (?) = (nV)-1 Im $ G (г, г; ? - Ю) dr, (1.36)
V
av(к, E) = (nV)-1lei*"-T'nmG(г, г'; ?-iO)drdr\ (1.37)
v
и в простейшем случае изотропной системы, когда функция Ff (Е, Е' )
диагональна (Fa& = F6ap),
Fr(E, ?') = (n*V)-ljdrdr
r2; E-iO)ImG(r8, r4; ? - iO)) L=r4=r. • O-38)
J |r"=r* = r'
В соответствии с нашим предположением перечисленные величины являются
случайными, поскольку случайным является потенциал U {г), которым все они
в конечном счете определяются. Это отражает тот факт, что соответствующие
физические величины принимают различные значения в различных экземплярах
неупорядоченной системы (например, кристалла с примесями). Указанные
экземпляры являются аналогами микросостояний в статистической физике. Что
же касается аналогов макросостояний, то ежи должны определяться теми
немногими макроскопическими параметрами, от которых должна зависеть
функция распределения вероятностей случайного потенциала и которые, как
правило, и бывают только известны. Наиболее типичным и простым примером
такого параметра может служить концентрация примесей в кристалле.
Как и в статистической физике, необходимо провести усреднение по всем
микросостояниям, соответствующим одному и тому же макросостоянию, т. е,,
например, по всевозможным расположениям примесей при фиксированной их
концентрации. При этом, конечно, необходимо быть уверенным в том, что
полученные таким образом средние значения физических величин будут мало
отличаться от истинных значений, т. е. что флуктуации малы. Оказывается,
что это действительно так в случае, когда потенциал удовлетворяет
довольно общим и, на наш взгляд, естественным условиям пространственной
однородности н отсутствия корреляций в бесконечно удаленных точках.
23
Прежде чем переходить к обсуждению этих свойств случайного потенциала,
заметим следующее. Почти всюду ниже мы, вычисляя те или иные величины,
будем в основном рассматривать случайные потенциалы, меняющиеся
относительно быстро (на расстояниях, сравнимых с межатомными). Влияние
плавной составляющей случайного поля на значительную часть спектра может
быть учтено следующим очевидным образом. Будем для определенности
говорить о плотности состояний. Пусть pt (?) - плотность состояний в
системе с быстро меняющимся потенциалом, a U и X-характерные амплитуда и
интервал изменения его плавной составляющей. Если существует широкий по
сравнению с U участок спектра, реализуемый на состояниях, характерные
длины которых малы по сравнению с X, то на этом участке плотность
состояний р (Е) равна
р (E)tt\Pl(E-U)P(U)dV, (1.39)
где Р (U) - плотность вероятностей значений плавной составляющей
случайного потенциала в некоторой точке. В предельном случае X -> оо
такой результат является асимптотически точным (см. п. 6.5).
§ 2. Статистические свойства неупорядоченных систем
2.1. Пространственная однородность в среднем и исчезновение корреляций
