Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
- lim exp [Jg(r')w (r -r')dr'l drl^ -
NV-i-+n\ V J
= lim _ jl +V"1 J [exp J g(r')u(r-r')dr'- l] dr\N -
NV-^n^ V f
= exp [л J [exp J g(r')w(r-r')dr' - l] dr} .
Свойство исчезновения корреляций будет, очевидно, выполнено, если для g
(г) = gt (г) -j-g3 (f -f а) функционал Ф [g] факторизуется
26
При | а | -> оо в произведение вида Ф^^Ф [&"]• Но этот факт
непосредственно вытекает из вида (2.5) производящего функционала. _
Если в (2.5) устремить п к бесконечности, считая при этом, что функция и
(г) пропорциональна /г-1/2, и отсчитывая получающуюся таким предельным
переходом случайную функцию от ее среднего значения
t/(r) = (? + i>(r), ?? = <[/(г)>,
то получим функционал
(r)r[g] = exp}2-'$g(r)g(r')B"(r-0**'} , (2.6)
где Bv (г) = <о (0) v (г)>. Этот функционал определяет гауссовскую
случайную функцию, которая пространственно однородна в силу разностной
зависимости корреляционной функции <у (rx) v (г2)> = = Bv(r1-г3) от своих
аргументов и обладает свойством исчезновения корреляций, если ?^(r)->0
при [г [ -j- оо.
Как явствует из вывода (2.6), гауссовская функция хорошо аппроксимирует
потенциал (2.4) при достаточно высокой концентрации примесей и для таких
реализаций, в которых характерные значения U (г) не очень сильно
отличаются от U (подробнее об этом см. § 15).
Можно себе представить и более общую ситуацию, когда точки гj в (1.7)
(или в (2.4)) статистически зависимы, что является отражением факта
взаимодействия между примесями. В дискретном случае кроме равной с
вероятности того, что примесь находится в точке г, необходимо задать еще
вероятности расположений любых комплексов точек, т. е. c%w2 (г2 - гх) -
вероятность того, что один примесной атом находится в точке г2, а другой
- в точке г2, с3доа(г2- г1? га-г,) - вероятность того, что три примесных
атома находятся в точках гх, г2, г3, и т. д.
В непрерывном случае (2.4) необходимо задавать вероятности вида hdr,
n2w2(r2 - r1)dr1dr2, n3w3(г2 -rx, r3-r1)dr1dr2dr3 и т.д.
Свойство пространственной однородности соответствующей случайной функции
является следствием разностной зависимости функций wn от своих
аргументов, а свойство исчезновения корреляций будет выполнено, если эти
функции факторизуются в произведение функций меньшего порядка при
разбиении их аргументов на группы и неограниченном удалении групп друг от
друга. Так, w2 (r2-1 при |г2 - г^-^оо, ш8(г2 - т1У г,-w2 (ra-гх) при |
г31 -> оо и т. д. Типичный пример таких функций возникает при
рассмотрении неупорядоченных систем, получаемых путем закалки системы,
равновесной при температуре Ти до температуры Т2. В этом случае примеси
подчиняются ' распределению Гиббса, отвечающему температуре Т1У и функции
wn будут просто корреляционными функциями этого
27
распределения [156]. В то же время термодинамика неупорядоченной системы,
представляющей собой в принятом одночастичном приближении идеальный газ,
будет вычисляться при температуре Т2.
§ 3. Самоусредняющиеся величины
3.1. Плотность состояний. Рассмотрим первое из следствий, вытекающее из
предположения о том, что потенциал обладает свойствами пространственной
однородности и ослабления корреляций. Этим следствием является
самоусредняемость удельных, т. е. отнесенных к единице объема,
экстенсивных физических величин.
Будем называть самоусредняющимися такие построенные из собственных
значений и собственных функций неупорядоченной системы удельные
экстенсивные физические величины, которые при V -оо имеют
детерминированный (неслучайный) предел.
Свойство самоусредняемости различных физических величин, и в первую
очередь плотности состояний, явно, а чаще неявно, предполагалось
практически во всех работах, посвященных физике неупорядоченных систем.
Первое известное авторам доказательство этого свойства для плотности
состояний было дано в [15] (работа выполнена в 1955 г.) при
математическом обосновании работы [16], в которой рассматривались
колебания неупорядоченной одномерной цепочки. Затем в [17] была доказана
самоусредняемость определенного класса случайных величин в случае, когда
потенциал имеет вид (1.7) (одномерный вариант см. в [18]). Некоторым
недостатком этих доказательств является их излишняя конкретность, в
результате чего может возникнуть впечатление, что самоусредняемость есть
свойство только каких-то определенных моделей. Связь этого свойства с
пространственной однородностью неупорядоченных систем была отмечена в
[4].
Механизм возникновения свойства самоусредняемости экстенсивных величин
может быть объяснен следующим образом. Всякая экстенсивная величина Fv
при достаточно большом (по сравнению с объемом корреляции случайной
функции U (г)) макроскопическом объеме V становится аддитивной. Это
значит, что, разбивая V на меньшие, но еще макроскопические подобъемы V,-
, разделенные "коридорами" ширины R (рис. 1) *), мы можем представить
удельную величину V~1Fv с точностью до поверхностных членов, исчезающих в
макроскопическом пределе, в виде среднего арифметического ее значений в
