Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Можно дать критерий того, какая из двух указанных возможностей в
действительности осуществляется. Таким критерием, согласно (4.5),
является положительность или равенство нулю среднего <р(г, г'; Е1У Е2)>.
Случайная величина /?те(г, г'), точнее, lim | G (г, г'; t) j2, была
оо
введена Андерсоном [5] как характеристика того, возможна или невозможна
диффузия спинов в неупорядоченной системе, чему соответствовали случаи
^"(0, 0)-0 и /?ю(0, 0) > 0. Из приведенных выше рассмотрений вытекает,
что факт отсутствия или наличия такой "квантовой диффузии" однозначно
связан с тем, существует или нет дискретный спектр у соответствующего
случайного оператора, причем для того, чтобы это установить, достаточно
рассматривать не саму функцию р"(г, г'), а ее среднее значение.
Но наличие дискретного спектра, который, как мы видели, всегда является
очень густым, означает существование большого числа достаточно быстро
(как правило, экспоненциально) убывающих при | г | -> оо, т. е.
локализованных, собственных функций. Поэтому величина </?(г, г'; Ег, Е2)>
может рассматриваться как мера локализации собственных функций случайного
оператора Н в интервале (Eit Е2).
40
Приведем еще выражение для </?"(г, г')> через функцию Грина G(r, г'; Е)
стационарного уравнения Шредингера (1.1) [30]:
<А. (г. r')> = lim ~ ? <| G (г, г'; Е-18) |"> dE.
б->-0 J
Эта формула показывает, что величину р"{т - г', ?¦) -Нщ~<|G (г, г'; Е-
1'6)|2> =
б^-о п
=(26 (?-?") гф. (<•) г (О I*) (4-б)
discr
можно рассматривать как характеристику локализации в окрестности точки Е.
Действительно, ее положительность означает наличие дискретного спектра, а
значит и локализации собственных функций, в окрестности соответствующей
энергии в каждой реализации случайного потенциала. Наоборот; равенство
этой величины нулю при некоторой энергии Е свидетельствует об отсутствии
дискретного спектра в окрестности Е, т. е. о том, что собственные
функции, соответствующие таким энергиям, дело-кализованы.
Если рассматривать функцию рж{т, Е) лишь при значениях координаты г,
изменяющихся в конечной области, то сформулированное только что
утверждение является максимальной информацией, которую можно извлечь из
этой функции. Однако если знать р№ (г, Е) при всех г, то о спектре можно
сказать несколько больше. Действительно, тогда из (4.6) следует, что
Р~ (Е) = S Р" (Г> Е) ^ = { 2 6 (Е ~ Еп) 1 Фи (°) I*)-
discr
Сравнивая правую часть этого соотношения с формулой для плотности
состояний (3.7), правая часть которой записана в виде разложения по
собственным функциям:
p(?) = (S" (?-?') | *s,(0) \'dE')
(здесь ... dE обозначает интегрирование по непрерывному спектру и
суммирование по дискретным уровням бесконечной системы), видим, что
величину ра {Е) можно рассматривать как плотность дискретных уровней и,
вообще говоря,
Р~ (?)<Р О^-
Если же имеет место равенство
РЛЕ)^ Р(?). (4.7)
то в этом случае (и только в этом) спектр бесконечной системы в каждой
реализации чисто дискретный. Иными словами, послед-
41
нее равенство может служить критерием полной локализации состояний
неупорядоченной системы в окрестности данной точки Е, т. е. локальным по
спектру критерием его чисто дискретного характера. Мы воспользуемся этим
критерием в § 13. Можно дать и соответствующий глобальный по спектру
критерий. Он особенно просто выглядит в решеточном случае, когда
отсутствуют сингулярности в соотношении полноты при совпадающих
аргументах. Действительно, интегрируя рю (Е) по всем энергиям, найдем,
что в случае, когда весь спектр является чисто дискретным,
\pAE)dE=* 1, тогда как в общем случае имеет место лишь неравенство
S P"(E)dE^ 1.
В непрерывном случае подобный глобальный критерий выглядит несколько
сложнее и формулируется в терминах определенной ниже корреляционной
функции плотность-плотность (4.13).
То обстоятельство, что положительность величины (4.6) эквивалентна
наличию дискретного спектра, нетрудно понять. Для этого рассмотрим
функцию
S8(?-?"v)H>w(r)|*. (4.8)
п
где Env и tynV (г) - уровни энергии и нормированные на 1 волновые функции
конечной системы, заключенной в объем У, и суммирование производится по
всем состояниям. Заметим теперь, что при больших У волновые функции
фЛ1/(г), превращающиеся в пределе в состояния дискретного и непрерывного
спектра, ведут себя совершенно по-разному. Первые при У -* оо практически
не зависят от У, а вторые имеют порядок У-1/*. Так как в области
непрерывного спектра сумма по п должна перейти в интеграл по Е,- и это
происходит, если выражение, стоящее под знаком суммы, имеет порядок У-1
(например, для локальной плотности состояний ру (г, г; Е) =* 2 в (?-Env)!
Ф/jv (г) |а)" - то
п
те слагаемые в (4.8), которые при У -"- оо отвечают непрерывному спектру,
не дадут вклада в предельное выражение. Иными словами, величина (4.8) в
макроскопическом пределе будет отлична от нуля только в том случае, если
макроскопически большая система имеет дискретные уровни.
