Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(*. 0) / / ч
J р (E)e-EtdE=*{4nt)~*/* J (expf - $ U(r(s))ds ))<2>r (s). (3.4)
(0,0) \ о /
Эту формулу можно записать и иначе: с вероятностью 1
Um У-1 Spexp (- tHv) (0, 0; /)>. (3.5)
Здесь К (r, r'; t)~ ядро оператора е~ш, а Н -оператор, опреде-
ляемый уравнением (1.1) во всем пространстве. Так как (3.4) верно при
любом t, то вместо него можно написать, что для каждой реализации
lim У-1 Sp б (Е-Ну) - <р (0, 0; Е)> (3.6)
Г->¦ СО
или
р(Е)^<р(0, 0; Е)>, (3.7)
где р (?)- НцУрг (?) - предельная плотность состояний, а
• V-Voo
р(г, г'; Е) - ядро оператора 6(? - Н). Величину р (г, г; Е) иногда
называют плотностью состояний в точке г.
31
Из доказанного выше следует, что свойством самоусредняемости будут
обладать любые величины вида У-1 Sp F (Ну), где F (Е)~ достаточно быстро
убывающая на бесконечности функция. Поэтому, в частности,
самоусредняющимися величинами будут термодинамические потенциалы
неупорядоченной системы в принятом одночастичном приближении. При этом их
предельные при V ->-оо значения, как следует из (3.7), выразятся через
спектральные характеристики гамильтониана Н, определяемого уравнением
(1.1) во всем пространстве, аналогично тому как это имеет место для
упорядоченных систем.
3.2. Спектральная плотность и электропроводность. Перейдем теперь к
величинам (1.30) и (1.33). Доказательство их самоусредняемости в своих
основных чертах не отличается от такового для плотности состояний.
Поэтому мы укажем лишь соответствующие изменения.
Формулы, аналогичные (3.1), в данном случае имеют вид
av(к, 0- E)e~Et dE*=y J eiK^~T^Kv{ru r2; t)dridr2,
v
Ff(t" ?3) exp (-?,*, - E2Q dE, dE,=
__4_ P dKy fa, r2; tj) dKyjfj, СГ> tt) ^ ^
V J dr? dr\ 1 2*
V ?
Сюда еще не очень удобно подставлять представление (3.2) для /Су(гх, г2;
t), поскольку его пришлось бы дифференцировать. Чтобы исключить
производные, воспользуемся следующим соотношением:
Ку{ги Г2; /) =
t
-ky (гх, г2; *)- 5 drf 5 d%kv(ri, г', т) U{r')Kv(r', г2; т),
V о
где kv(rif r2; t) - ядро оператора ехр(-Шу) и Щ -гамильтониан свободной
частицы в объеме V, определяемый (1.1) с ?7=^0 и нулевыми граничными
условиями *).
Использование этого соотношения приводит к тому, что в формуле для
F?^(tlt t2) появляются величины вида
( С )
U(r)exp \ - J U(г (s)-J-г) ds[¦,
________________ I о ;
*) Это соотношение представляет собой записанное в координатном
представлении известное операторное тождество:
t
exp (-Шу) = ехр (-Шу) - ^ ехр[- (t-т) Ну] U ехр (-тНу) dx,
о
Hy=Hy + U.
32
а также произведения таких величин, взятые при двух различных значениях
г. Чтобы обеспечить конечность их средних по реализациям (а это есть
условие применимости эргодической теоремы (2.3)), мы дополнительно
потребуем ограниченности среднего квадрата потенциала: <?Л(г)>< оо.
Подобно тому, как это было сделано в случае плотности состояний,
самоусредняемость величины F\p{EXt Е2), через которую выражается
проводимость (1.32) неупорядоченной системы, можно выразить следующей
формулой, справедливой при каждых фиксированных Ех и Е2 с вероятностью 1:
lim V'1 Sp{pa8 (Et- Hv) p8S (?,-Hv)} =
Т-> ОО
- <(Р"6 (Ех - Н) ррб (?, - Н)) (0, 0)> (3.8)
(р-оператор импульса, р=з-t'v). Формула, аналогичная (3.4), в данном
случае довольно громоздка, и потому мы ее не приводим.
3.3. Независимость от граничных условий. Покажем теперь, что неслучайные
пределы, существование которых установлено выше, не зависят от вида
граничных условий. Проще всего в этом убедиться в одномерном случае на
примере плотности состояний. Здесь, как следует из вариационного
принципа, число уровней, попадающих в любой фиксированный интервал оси
энергий для одномерного уравнения Шредингера, рассматриваемого на
интервале (О, L), при изменении граничных условий может измениться не
более чем на 2. Поэтому плотности состояний, отвечающие различным
граничным условиям, в одномерном случае различаются на величину порядка
L-1 и, следовательно, все совпадают в макроскопическом пределе L -* оо. В
многомерном случае и для величин более сложной природы положение,
конечно, усложняется, однако всякий раз локальность рассматриваемых
уравнений, а также свойства пространственной однородности и убывания
корреляций приводят к тому, что удельные экстенсивные величины при
вариации граничных условий изменяются на величину порядка отношения
поверхности образца к его объему.
Однако, как и при доказательстве самоусредняемости, непосредственная
оценка величины этого изменения оказывается весьма нетривиальной и
связана с громоздкими вычислениями. Поэтому мы опять воспользуемся менее
наглядным, но более технически простым приемом, использующим оператор
е~ш.
Пусть Н9 - оператор, отвечающий уравнению (1.1) в кубе V и граничным
условиям
(a(r)^+6(r)^.)|s = 0, (39)
а (г), Ь(т) > 0, а(г) + 6(г) = 1, где 5-поверхность куба V.
2 И. М. Лифшиц и др.
33
Мы рассмотрим только функцию
поскольку в случае величин (1.30) и (1.33) доказательство проводится
аналогично, но с некоторыми усложнениями. Обозначим через Kv (гх, г2; /)
