Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
неупорядоченность обусло лена тем, что узлы такой решетки занимают
объекты, которые могут быть описаны лишь
10
статистически (например, атомы одной из двух компонент, вероятность
обнаружения которых в каждом узле равна с и 1 -с, где с- концентрация
растворяемого вещества). В этом случае говорят о беспорядке замещения или
композиционном беспорядке.
Второй класс неупорядоченных систем составляют такие, в которых
отсутствует трансляционная симметрия каркаса, дальний порядок в
расположении образующих его частиц, хотя ближний порядок обычно имеет
место. Такой тип беспорядка характерен для аморфных, жидких и
газообразных сред, и его обычно называют структурным или топологическим.
Заметим, что в твердом теле такой тип беспорядка не может, вообще говоря,
реализоваться только за счет деформации регулярной кристаллической
решетки, т. е. иметь вид криволинейной и неизометричной "сети", возможно,
лишь с точечными дефектами. Требование непрерывности такой "сети" вместе
с условием ее пространственной однородности в среднем накладывает в
трехмерном случае серьезные ограничения на характер ее возможных
деформаций. Поэтому в достаточной мере структурно неупорядоченная система
должна содержать дефекты, нарушающие топологию криволинейной сети и
имеющие либо одномерный характер типа дислокационных петель, либо
двумерный-типа поверхностей разрыва, разграничивающих участки такой сети
с различающейся ориентацией. В более общей ситуации примером структурно
неупорядоченной системы может служить случайная плотная упаковка шаров,
предложенная вначале Д. Берналом как модель структуры простых жидкостей,
а в настоящее время широко используемая в качестве структурной модели
большого класса аморфных систем- металлических стекол, представляющих
собой полученные в результате определенных быстрых процессов (закалки из
расплава, напыления на охлаждаемую
подложку и т. п.) многокомпонентные сплавы. Этот пример пока-
зывает также, что структурный беспорядок может сочетаться с
композиционным.
В одночастичном приближении каркас со всеми его степенями свободы
заменяется статическим случайным полем, в котором и движется
квазичастица. Поэтому уравнением, описывающим это движение, является
уравнение Шредингера
- Дф -f V (г) ф = ?ф, (1.1)
в котором потенциал U (г) является случайной функцией коор-
динаты. Весьма общей формой для U (г) является следующая:
(гН2ы/ (г-Гу). (1.2)
/
Если считать, что в этом выражении точки iy образуют правильную решетку,
узлы которой мы будем обозначать через п, а функции Uj (г) случайны и в
каждой точке могут принимать два зна-
11
чения аг (г) и м2(г) с вероятностями си 1 -с, то такой случайный
потенциал отвечает модели двухкомпонентного неупорядоченного сплава
замещения:
U (г) = Ua (г) + ""а(г-п), (1.3)
П
где
Un (r) = Sw2 (г-п)
п
есть периодический потенциал, имеющий симметрию решетки {п},
и(г) = и1 (г) - и2 (г)
и сп - случайные "числа заполнения", принимающие при каждом п значения 0
и 1 с вероятностями с и 1 -с, где с -концентрация первой компоненты.
Гамильтониан, определяемый уравнением (1.1) с потенциалом
(1.3), часто бывает удобно записать в смешанном (к, г) представлении, в
более явной форме демонстрирующем его разбиение на трансляционно
инвариантную и неупорядоченную части:
Н = (к) + 2 спи(г - п), (1.4)
П
где Es (к) - закон дисперсии оператора -A+?/n(r), s - номер зоны. Для
исследования основных качественных свойств структуры энергетического
спектра удобно рассматривать по возможности более простые модели,
освобожденные от громоздкости, не имеющей принципиального характера, и в
то же время сохраняющие достаточную общность и разумность. С этой целью
мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда трансляционно инвариантная
часть Н° полного гамильтониана (1.4) имеет лишь одну
ветвь спектра, т. е. будем пренебрегать переходами между его
различными разрешенными зонами, считая, например, что расстояние между
ними достаточно велико. В результате (1.4) заменяется на
Н = ?(к) + У(й), Й = ,Д (1.5)
Ясно, что, оставляя в (1.4) одну зону конечной ширины, т. е. заменяя
(1.4) на (1.5), мы фактически переходим от непрерывного уравнения (1.1) с
потенциалом (1.3) к дискретной системе вида
+ VA, =&!>", Е(K) = 2tfSeiKn, (1.6)
гп п
где диагональные элементы Un случайны и принимают два значения.
Подчеркнем, что однозонный характер трансляционно инвариантной части
(1.5), (1.6) вовзе не исключает возможности существования нескольких зон
у полного гамильтониана (1.5).
Аналогичная "дискретизация" исходной непрерывной модели может быть
достигнута и несколько иначе, путем использования
12
известной в теории твердого тела процедуры получения приближения сильной
связи [6].
Случайный потенциал, отвечающий простейшей модели структурного беспорядка
(например, однокомпонентной аморфной среды), получится из формы (1.2),
если считать, что точки Гу хаотически распределены по пространству со
средней плотностью я, а функции Uj (г) все одинаковы и неслучайны:
