Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
<У(г) = 2и(г-Г/). (1.7)
/
Одночастичные модели неупорядоченных систем, определяемые потенциалами
(1.3) и (1.7), будут в дальнейшем одними из основных объектов
исследования. Однако, чтобы составить определенное представление о
существующих между ними сходстве и различии и выделить качественно
достаточно общие и в то же время допускающие эффективный анализ
теоретические ситуации, мы начнем обсуждение с формулы (1.2).
Физическими причинами, приводящими к случайности формы потенциала (или
псевдопотенциала) "у, моделирующего действие отдельного атома каркаса на
квазичастицу, могут быть, кроме многокомпонентного характера системы,
внешние поля (например, деформационного происхождения), флуктуации
локального окружения, динамически не связанного с рассматриваемыми
степенями свободы (например, аморфной среды из немагнитных атомов,
создающих с помощью механизма сверхтонкого взаимодействия размытие
ориентации примесного спина), и т. п. В общем случае радиусы действия
этих потенциалов и характерные расстояния между точками Гу имеют один и
тот же масштаб, а число параметров, задающих, в силу неупорядоченного
характера системы, их статистическое описание, чрезвычайно велико.
Поэтому желательно ввести такую параметризацию случайного потенциала,
которая позволила бы свести сложную задачу (1.1) -(1.2) к задаче с
возможно меньшим числом параметров, законы распределения которых
допускали бы сравнительно простое описание и исследование. Для этого,
прежде всего, выделим из U (г) плавно изменяющуюся случайную
составляющую, обусловленную перекрытием большого числа малых "хвостов"
потенциалов Му(г-Гу) на расстояниях, больших атомных, и тем самым оставим
в и}-только чисто "локальную" часть. Роль плавной составляющей U (г)
будет обсуждаться в конце этого параграфа, а также в пп. 6.5 и 27.4.
Здесь же для нас важна сама возможность такого разделения, поскольку это
позволяет считать, что действие потенциалов "у распространяется лишь на
расстояния, не превышающие нескольких межатомных.
Далее, простейшей параметризацией отдельных слагаемых в (1.2) является,
очевидно, следующая, обобщающая (1.3):
ыу(г-гу) = "у/(г-гу), (1.8)
13
в которой различие в форме функций Му сведено к различию в каждой точке
их амплитуд. Эти последние мы можем характеризовать их типичным значением
U и величиной их флуктуаций W, которые в сцлу макроскопической
пространственной однородности (см. подробнее §§ 2, 3) не зависят от /, и
потому можно считать, например, что U ~ < и} >, W* ~ < и) > - < Uj>2
(угловые скобки здесь и всюду ниже означают усреднение по реализациям
фигурирующих в задаче случайных параметров).
Однако если разброс амплитуд не мал, а точки Гу достаточно хаотично
распределены по пространству, то упрощение (1.8) оказывается
малоэффективным, поскольку в задаче по-прежнему отсутствуют малые
параметры и поэтому ее сколько-нибудь содержательное исследование
возможно разве что в одномерном случае.
В структурно неупорядоченной среде параметром, который в принципе может
оказаться малым, является отношение радиуса г0 функции / (г) к среднему
расстоянию I = п~1/г между центрами Гу или к радиусу связанного состояния
в одной яме (1.8), если эта величина больше. В примесной системе типа
сплава замещения малость подобного параметра, представляющего собой
концентрацию примесных атомов, отвечает вполне реализуемой физической
ситуации. Другим примером, в котором этот параметр мал, может служить
система электронов в гелии, находящемся в газообразной фазе при
достаточно низкой температуре (~4К). Естественно поэтому в качестве меры
беспорядка в первую очередь рассматривать этот малый параметр, что дает
возможность достаточно однозначно выделить невозмущенную упорядоченную
систему и проследить, как по мере увеличения этого параметра ее
упорядоченное поведение сменяется неупорядоченным. Но при малых
концентрациях, когда атомы каркаса настолько удалены друг от Друга, что
вызываемый перекрытием волновых функций отдельных атомов сдвиг некоторого
одноатомного уровня Ея при характерных (~/) изменениях Гу, а также его
сдвиг за счет флуктуаций "у малы по сравнению с расстоянием от Ея до
других уровней, мы оказываемся в условиях применимости приближения
сильной связи. Это позволяет заменить произведения вида f(г - Гу)ф(г) в
(1.1) их проекциями на связанное состояние
ф<0) (г) - ф10> (г-Гу), J ф(0)2 (г) dr = 1, отдельного центра:
2 Ujf (Г - Гу) ф (г) 2 и/У/Ь (г) >
<ру(г) = ф(г-гу), Ф(г)==/(г)ф<0>(г)^/(Г')ф""*(г')(1г',
где величины фу *** J ф (г) фу (г) dr играют роль амплитуд волновой
функции на центре Гу. В результате уравнение (1,1)
14
приобретает вид
- A^ + Sw/^/{Py(r) = ^. (1-9)
откуда
¦4>(r) = SMv dK' (1л°)
где ф(к)-преобразование Фурье функции ф(г). Умножая (1.10) на фА (г) и
интегрируя по г, придем к следующей системе уравнений для амплитуд
Ь =Ци^(Е, гу - г*)фл, (1.11)
k
F(E,T)^(2nf j |ф^ГГ dK. (1.12)
Таким образом, предположение о малости концентрации центров Гу или, что
