Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лифшиц И.М. -> "Введение в теорию неупорядоченных систем " -> 7

Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.

Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур Л.А. Введение в теорию неупорядоченных систем — М.: Наука, 1982. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriyuneuporyadochennihsistem1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 145 >> Следующая

эквивалентно, о достаточно быстром по сравнению с I спадании / (г)
позволяет редуцировать исходную непрерывную задачу (1.1) к задаче
нахождения набора амплитуд фу как решения однородной системы (1.11)*).
Условие существования таких решений определяет уровни энергии, а сами
решения позволяют с помощью (1.10) найти соответствующую волновую
функцию. Несколько необычной чертой подобного сокращенного описания
является то, что оно не имеет привычного вида уравнения на собственные
значения-энергетический параметр входит в систему (1.11) существенно
нелинейным образом.
Однако если помнить о том, что описанная редукция возможна
в некоторой окрестности примесного уровня Ел, отвечающего среднему
значению U амплитуды "у в (1.8) при условии U^>W, то систему (1.11) можно
привести к обычной форме спектральной задачи, в которую энергетический
параметр входит линейно. В самом деле, полагая Е-Ел-\-е, |е|<^|?д|, "у -
?/ + tty, <"У> -0, <Ц/> - \У2 и учитывая, что Ел есть корень уравнения
1 -UF(Ea, 0) - 0, будем иметь (см. также п. 27.4)
2 Яг° -ф/Ч-иу-фу^ефу,
} 1
где
иj F (Дд. г)
Vi ~ ~ UW (Ел, 0) ' г Г(Ея,0)'
*) Подобная редукция возможна не только в окрестности некоторого
доильного уровня Ел, но и при небольших, например по сравнению с U, поло-
-жжтельных энергиях. В этом случае роль ф(0) (г) играет решение
одноцентро-вой задачи рассеяния (см. подробнее п. 28.1).
(1.13)
(1.14)
15
Из (1.11) ясно, что при r^>k^, kl^ - E" F(Ел, г) ведет себя как r~1exp(-
k0r) *) и поэтому недиагональные элементы в эффективном дискретном
гамильтониане (1.13) на характерных
(им может быть U или |.ЕЛ|). С другой стороны, диагональные элементы в
(1.13) также имеют порядок U. Поэтому, если выполнено неравенство
то "дрожанием" амплитуд потенциалов и}- из (1.8) можно пренебречь, и
система является структурно неупорядоченной в том смысле, в каком это
подразумевает запись (1.7). В противоположном случае
для качественной оценки влияния разброса диагональных элементов Vj в
(1.13) можно полагать, что точки iy образуют правильную эффективную
решетку с параметром /. В результате
(1.13) приобретает вид уравнений (1.6) приближения сильной связи с
той лишь разницей, что теперь случайные диагональные элементы (дискретный
потенциал) могут иметь и непрерывное распределение.
Обычно предполагают, что величины vn являются статистически независимыми
при различных п, и используют некоторую однопараметрическую форму их
плотности вероятностей Р (и), например:
Модель (1.5), в которой учитывалось только взаимодействие ближайших
соседей и такая форма распределения vn, была впервые рассмотрена
Андерсоном [5] в связи с проблемой локализации состояний в
неупорядоченных системах (см. по этому поводу
Интересным предельным случаем формы примесного потенциала f(r) в (1.8)
является локальное возмущение, сосредоточенное в одной точке. Как ясно из
(1.12), в одномерном случае можно просто положить f (х) = 8(х), и тогда
модели структурного беспорядка будет отвечать потенциал
расстояниях 1 = п~'/я имеют порядок
Я~ Яехр(-ад,
где U - энергетический параметр, характеризующий один центр
ехр (_ад>Ц7/Я,
ехр(- k0l)<^W/U
(1.15)
п. 4.2).
U (*) = 2 bfi (x-Xj).
(1.16)
*) Интересуясь здесь в основном оценками порядков величин, мы пола гаем,
что при малых к закон дисперсии квадратичен.
Особенно простым оказывается аналогичный потенциал, отвечающий модели
беспорядка замещения:
U {x)=^'Siknb(x - na)i (1.17)
П
где а - период одномерной цепочки, a kn -- случайные амплитуды. Для
такого потенциала процедура перехода от (1.1) к (1.11) является очень
простой и может быть осуществлена без дополнительных предположений.
Действительно, в данном случае аналог формулы (1.10) имеет вид
ф(х) = - 7^ ^ (яа) ехр (/& | х-па\), k2 - E.
П
Полагая здесь х - па, получим уравнение типа (1.11) для ф" = ф(?ш):
О = Ti k,Am^p{ika\n-m\)t (1.18)
m ^ п
которое после умножения на cos ka и вычитания из результата уравнений для
ф^ и фл+, приобретает вид одномерного аналога уравнения (1.6),
отвечающего диагональному беспорядку с взаимодействием ближайших соседей:
Фя+1+Фл-1 - 2 ^cos&a + sin kaj фл = 0. (1.19)
Поскольку, однако, в данном случае сведение непрерывного уравнения
Шредингера к его дискретному аналогу является точным, то параметры этого
последнего являются нелинейными функциями энергии. Тем не менее такая
форма одномерной модели с беспорядком замещения оказывается весьма
полезной и будет неоднократно использована в дальнейшем.
Если размерность пространства больше единицы, то при квадратичном законе
дисперсии подстановка в (1.12) /(г) = 6(г) приводит к расходимости при
больших k (малых г). Поэтому функция /(г) хотя и может быть сосредоточена
в одной точке, но должна быть несколько менее сингулярной, чем 6 (г). Это
обстоятельство хорошо известно в квантовой механике [36, 116] н приводит,
в частности, к тому, что роль амплитуд фу в (1.13) в случае трехмерного
точечного потенциала играет lim | г - Гу | ф (г)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed