Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(13.69)
Вывод этой формулы основан на использовании теории возмущений по
случайному потенциалу и электрон-фононному взаимодействию в форме
диаграммной техники, сочетающей развитую в [102] и ту, которая обычно
используется при расчете кинетических величин [113], и включает в себя
весьма детальный и громоздкий анализ различных классов диаграмм. Однако
смысл ее весьма прозрачен и может быть понят с помощью следующих простых
качественных соображений. Запишем кинетическое уравнение для
одночастичной матрицы плотности в базисе локализованных волновых функций
невзаимодействующих электронов:
(со-Ет + Еп) р%п-еЕхтп (р<"-р$.) 1ф (р(1)),
где 1ф-фононный линеаризованный интеграл столкновений. Так как электрон-
фононное взаимодействие по предположению является слабым, то в интеграле
столкновений можно оставить только диагональную часть, соответствующую
вероятности ухода из данного состояния во все остальные. При вычислении
же этой последней будем считать волновые функции плоскими волнами, что
верно в том случае, когда дебройлевская длина волны фоно-на много меньше,
чем /л, т. е. температура не очень мала. В результате оператор можно
записать просто как 1Ф=t/^ф, где фононное время жизни Тф дается обычными
формулами кинетической теории:
Тф'(Е) = $Г(?', E)dE'.
По смыслу вывода тф характеризует только неупругую часть электрон-
фононного рассеяния. Упругое рассеяние, если оно оказывается
существенным, должно быть объединено с эффектами статического случайного
потенциала (см. [105]).
Функция W (Е', Е) в последней формуле есть вероятность ухода электрона из
состояния с энергией Е в состояние с энергией Е' в результате
взаимодействия с фононами, которая фигурирует в линеаризованном
кинетическом уравнении и имеет вид
W(Ef, E)=?W+(E', E) + W~(E', Е),
W±(E', ?)=f |Cq j21 ~"F (E ] 6 iq*+K (gl т *(/Г)) x V } J1 Ql 1 - яр(?)
v(E)
X[(N"+ 1)8 (?-?'-">") +Я,в(?-?'+ш,)]^г.
где Cq - матричный элемент электрон-фононного взаимодействия, a Nq и
nF(E) - планковская и фермиевская функции распределения.
192
Мы видим, таким образом, что учет взаимодействия с фоно-нами приводит к
замене частоты о на На основании
(13.59) это и означает, что adc имеет вид (13.69). Обсуждение пределов
применимости этой формулы, а также дальнейшее ее обобщение проведено в
[105].
Как было отмечено, формула (13.69) справедлива при не очень низких
температурах. В противном случае, когда индуцированные фононами переходы
между локализованными электронными состояниями становятся чрезвычайно
редкими, согласно Мотту
Во всех отмеченных случаях эффекты электрон-фононного взаимодействия
приводили к делокализации электронных состояний. В работе [104] указана
физическая ситуация, когда такой делокализации не происходит. Именно,
согласно [104], для этого необходимо, чтобы ширина фононной зоны А была
мала по сравнению с характерными расстояниями между электронными уровнями
энергии т"1. Тогда оказываются возможными переходы между уровнями,
попадающими в очень узкий интервал энергий, и их вклад в эффекты
делокализации оказывается пренебрежимо малым. Подобные условия могут
иметь место в случае оптических (внутримолекулярных) фононов, дисперсия
которых весьма мала. В соответствии с этим в [104], во-первых, показано,
что в совершенном (упорядоченном) кристалле взаимодействие электронов с
бездисперсионными фононами не приводит к локализации, а проводимость
дается формулой Друде (13.54). Однако ее получение требует более точных
аппроксимаций (суммирование гораздо более широкого класса диаграмм), чем
те, которые в обычной ситуации приводят к кинетическому уравнению и,
следовательно, к (13.54). Во-вторых, согласно [104], в неупорядоченном
кристалле бездисперсионные фононы не разрушают локализацию (даже в случае
сильного рассеяния на фононах, когда тф<^т, длина локализации не
изменяется), не приводят к отличной от нуля статической проводимости и
сохраняют значение (13.60) низкочастотной диэлектрической проницаемости
при любом отношении тф к т. Однако низкочастотная асимптотика активной
проводимости изменяется. Вместо (13.2) теперь ее главный член имеет вид
Таким образом, во-первых, изменилась функциональная форма этой
асимптотики и, во-вторых, в случае сильного рассеяния на фононах, когда
Тф<^7\ проводимость с ростом (r) начинает возрастать раньше-характерной
частотой является теперь величина Тф/г2, а не г-1, как в (13.2).
Таким образом, можно сказать, что фононы могут как разрушать локализацию,
так и сохранять ее в определенном смысле
*) Более последовательный вывод этой формулы можно найти в [1].
[8, 31]*), -In adc ~Т~'№+1К
7 И. М. Лифшиц и др.
193
неизменной. Оказывается, что возможна и третья ситуация, когда" фононы
даже усиливают локализацию. Эта возможность обсуждалась в работе [105],
согласно которой она может реализоваться в том случае, когда нарушается
неравенство сот^>1, где со-характерная частота фононной зоны. Именно,
если выполняется обратное неравенство odt<^ 1, то порождаемый фононами
