Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
sin2 ft-Pi-(v-sin 2ft) -sin2 ft'Pj - - 1ЛР0 sin ft, (13.53)
т. e. отличается от (13.316) правой частью и тем, что в нем положено к -
0.
Так же, как и в случае P2(ft), решение этого уравнения в замкнутом виде
найти не удается, поэтому мы здесь тоже ограничимся исследованием случаев
больших (v^>l) и малых (v<^l) частот.
В первом случае, взяв в качестве приближенных выражений для Р" и Рг
первые члены их фурье-разложений, найдем, что
сг = а0(1-гсот)-1, aQ - 2e2kFTK~1.
В частности, для активной проводимости получим выражение
Re о (о) = а0 (1 +й>ат8)-\ (13.54)
совпадающее с известной формулой Друде.
Таким образом, при сот^> 1 проводимость неупорядоченной системы совпадает
с проводимостью идеального газа, т., е. в этой области частот локализация
не проявляется, что физически очевидно.
Рассмотрим теперь случай малых частот: v<^l. Выше мы видели, что при
вычислении рт (х; Е) определяющий вклад давала область малых углов ft~v,
поэтому и в данной задаче мы также будем пользоваться этим
"автомодельным" приближением. В этом приближении уравнение для Рг и
формула (13.52) для Re о (со) упрощаются следующим образом (ср. с
(13.38)):
= (13.55)
2с2 v с
Reo=-1чЛ>(-ч)Л(ч)<111. (13.56)
185
а выражение для Р0 получается из (13.32), в котором оставлены члены
только порядка v, и дается формулой (13.37). Согласно этой формуле Р0(т])
= 0 при rj < 0. Тогда из (13.55) следует, что в этом случае и Рх (tj) = 0
при г] < 0 (функция Рх должна быть интегрируема на бесконечности). Отсюда
на основании (13.56) вытекает, что при таком вычислении активная
проводимость обращается в нуль при со = 0. Подобный путь позволяет тем не
менее найти мнимую часть проводимости.
Выражение для этой величины, полученное из (13.12) с помощью уже
неоднократно использованных рассуждений, имеет вид
я/2
Ima(co)^ -- t чУ sin ft db
47 Jl J Stn(0' + 'O'1) 1
- Я/2
В "автомодельной" области ¦& ~ v оно упрощается следующим образом:
Ima((c)) = - Ц^-^dr] • (13.57)
о о
Найдем Рг (т]), которое является решением уравнения (13.55),
удовлетворяющим условиям /^(+00) = 0, /,1(+0) = 0. (Второе из этих
условий есть следствие непрерывности Рг в нуле и указанного выше факта
равенства Р1 нулю при т] < 0.) Имеем
= (lnt|' - С) e3tpjjr,*~1) dT|'. (13.58).
Л
где С-постоянная Эйлера.
Подставляя (13.37) и (13.58) в (13.57), после ряда несложных
преобразований приходим к формуле для главного члена асимптотики Ima(G>)
[102, 103]:
Ima(co) = 4a0?(3)((DT). (13.59)
Подобная зависимость комплексной проводимости от частоты характерна для
диэлектриков, поскольку, согласно [108], а (со) связана с диэлектрической
проницаемостью е (со) соотношением е (со) - 4ла (co)/(ico) и, значит,
Ree(0) = 1^J3) g2/* . (13.60)
Сравнивая теперь (13.60) с выражением (13.45) для второго момента функции
рт (х\ Е), убеждаемся в том, что появление диэлектрических свойств у
одномерных неупорядоченных систем связано с локализацией состояний и
обусловленной ею способностью к поляризации, определенной мерой которой и
является второй момент pw{x\ Е).
186
Перейдем к более точному вычислению Re a (to). Ранее мы получили нулевой
результат потому, что в "автомодельном" приближении функции Р0(л) и Z3!
(- rj) были отличны от нуля на разных полуосях. Так как обращение Pi(t])
в нуль при г)<0 обусловлено аналогичным свойством Рй (rj), то необходимо
прежде всего более точно найти эту функцию. Это можно сделать, решая
более точно, чем выше, уравнение (13.32) в области малых углов либо
находя асимптотическое разложение (13.33). Результат любой из этих
процедур, справедливый при v<^^<^1, таков:
/>.<") = -?г + ^Р-- (13.61)
В этой же области углов в уравнении (13.53) для Р1 (¦&) можно пренебречь
членом vPx, после чего оно интегрируется при любой правой части:
Я/2
I (13.62)
О
Отсюда и из (13.61) в области малых углов v^d^l получаем
fB'+-? + ^lnv+> !*!• й<0> ,1ЧМ.
Л (й) - Ао vt (13.63)
|в. + ф- + ^1п^ + ^1п^ *>0.
Сшивая эти выражения с найденным ранее решением (13.58) в области
которое для этой цели удобно представить в виде
Pi( Э)=^1п±,
найдем, что в (13.63)
ВХ^В2, Ах~Аг~у1л\п{\1\).
Оставшуюся константу найдем из условия антипериодичности функции Рх (Ф),
пользуясь выражением (13.62) для нее (поскольку при не малых углах в
(13.53) можно тем более пренебречь членом \Р'г) и выражением (13.61) для
Р0(й). В результате придем к следующей формуле для Pi(ft):
Рг (") = ~ [in (|"|v) + Я0(-") *Ш]. (13.64)
Таким образом, мы получили члены более высокого порядка для Р0{Ь) и
Рх(^). Подставляя (13.61) -(13.64) в (13.52) и замечая, что основной
вклад в интеграл дает область v ft 1, придем к окончательному выражению
(13.2) для Recr (о). Эта формула, так же как и (13.59), была впервые
получена в [102]. Там же
187
найдена и более точная при малых со асимптотическая формула для f из
(13.4') (см. стр. 172):
J ^ 4йо? (3) 1Л |
n2vp
+ ^ [In2 (- iv) + (2С-3) In (- tv) -f const] + о (v2). (13.65)
Остановимся кратко на истории вопроса. Уравнения (13.32), (13.52) и
