Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(13.53) были впервые получены в [106] из (13.11),
(13.14) и (13.15) на основании несколько иных, чем применявшиеся нами,
соображений. В этой же работе была предпринята попытка решения этих
уравнений. Соотношения (13.30), (13.52) и уравнения (13.31а), (13.316) и
(13.53), записанные через коэффициенты Фурье Rm, Q<?\ д| = 1,2, функций
Р0(Щ, Рх (й) и Ра(й), выведены в [102]. Однако в этой фундаментальной в
рассматриваемом круге вопросов работе все указанные формулы были получены
путем выделения главных в смысле неравенств (13.1) членов усредненного
ряда теории возмущений по случайному потенциалу для произведения двух
функций Грина, через которое и выражаются согласно (4.14) и (4.16)
корреляторы плотность-плотность и ток-ток. Неравенства (13.1) позволяют
пренебречь слагаемыми, содержащими интегралы от произведения множителей
вида exp(+2i&x), быстро осциллирующих на длине локализации /л, по
сравнению со слагаемыми, содержащими только плавные множители ехр
(кох/2&) (присутствие таких экспонент обусловлено видом невозмущенных
функций Грина G0 (х-х'\ Е ± *0) = = Ч1 (i/2k) ехр (± ik \х-х' |) и G0(x-
x'\ Е + ш -НО), из которых конструируются члены ряда теории возмущений).
При этом Rm и Qвозникали как вклады от диаграмм определенного типа, и
уравнения (рекуррентные соотношения) для них выводились в результате
последовательного построения таких диаграмм более высокого порядка из
диаграмм более низкого порядка. Как было сказано, в использованном нами
подходе величины Rm и Q возникают как коэффициенты Фурье функций Р0 (Ь) и
Ра(&), а= 1, 2, а соответствующие рекуррентные соотношения получаются
после подстановки рядов Фурье для этих функций в уравнения (13.31а),
(13.316), (13.53). Наш вывод этих уравнений, использующий усреднение по
"быстрой" переменной точных уравнений (13.14), (13.15), отличаясь по
форме от способа в работе [102], основан, в сущности, на аналогичных
соображениях, поскольку, как известно из нелинейной механики [56, 76],
процедура исключения "быстрых" переменных с помощью метода усреднения
эквивалентна суммированию главных по соответствующим параметрам членов
ряда теории возмущений.
13.4. Краткий обзор дальнейших результатов. В работе [109] был предложен
несколько иной подход к изучению одномерных неупорядоченных систем. Он
основан на том, что при низких
188
температурах*) электронный газ сильно вырожден и поэтому, если
нерегулярность кристалла не слишком велика (слабое взаимодействие с
примесями), все физические явления должны определяться состояниями,
сосредоточенными в малой окрестности сферы Ферми. Так как в одномерном
случае она состоит из двух точек ±&f* то импульсы указанных состояний
будут иметь вид ztkp-\-K, | /с |/^f 1 * Это позволяет линеаризовать
исходный
закон дисперсии электронов в окрестности указанных существенных точек, и
тогда их энергия, отсчитываемая от ЕF, будет равна ± vfk, а
соответствующими состояниями будут ф±е'Клг. Значит, оператор кинетической
энергии можно писать в виде
Взаимодействие с примесями в таком подходе задается двумя гауссовскими б-
коррелированными слагаемыми. Первое из них ответственно за изменение
состояния электрона в том случае, когда он остается в окрестности
исходной точки Hh kp (рассеяние вперед) и потому диагонально по индексам
±; второе описывает взаимодействие с "перебросом" (рассеяние назад) и
потому должно быть недиагонально по указанным индексам. Эти соображения
приводят к уравнению для состояний системы вида
(- iopg,^ + ч (*) +S W +S*Wв') ¦"!> = ?<|>. (13.66)
Здесь т) (лг) - вещественный, а ?(х)- комплексный гауссовские б-
коррелированные процессы, причем
<Т) (*) Т) (*')> =* ~ б (х-х'), <? (х) ?* (*')> - б {x-x')f
П '2
<? (х) ? (*')> - О, 0Г± =г ffj ± io2,
a /lt а - некоторые параметры размерности длины, определяющие длины
свободного пробега при рассеянии вперед и назад.
Важной особенностью уравнения (13.66) является некоммута-тивность члена с
взаимодействием, вследствие чего решения (13.66) необходимо записывать в
виде Г-экспонент, а его функция Грина будет отношением таких экспонент.
Имея эти выражения для функций Грина, можно подставить их в формулу Кубо
[11] и выполнить усреднение по реализациям. Чтобы это проделать, авторы
[109] представляют сомножитель функции Грина, содержащий экспоненциальный
функционал от случайной функции ?(лг) в знаменателе, некоторым рядом. В
результате вычисления средних от отдельных членов получающегося после
этого ряда для а (со) и его суммирования на таком пути получены формулы
(13.60) и (13.2) для низкочастотных диэлектрической
*) В отсутствие фононов это означает, что Т <^Ер, поскольку лишь при Т -
Ер в электронном газе начинают проявляться температурные эффекты.
189
проницаемости и активной проводимости, в которых вместо длины локализации
1Д стоит /а. Это позволяет отождествить /л с /а. Кроме того, в [109]
показано, что усредненная по реализациям статическая проводимость
конечного образца длины L при достаточно больших L ведет себя следующим
