Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Как и следовало, подынтегральное выражение обращается в нуль как в
глубине нормальной фазы (х-> - оо), где 1|з = 0, В = НС, так и в глубине
сверхпроводящей фазы (х -> оо), где | г|з |а = - а/Ь, В = 0.
Обратим внимание на то, что в подынтегральном выражении в (46,5) выпал
член iAv^ в результате равенства ЛЛ = 0. Такой же член выпадает из
(45,12), так что остается уравнение с вещественными коэффициентами;
поэтому решение этого уравнения может быть выбрано вещественным, что и
предполагается ниже. При этом в выражении плотности тока (45,14) исчезает
первый член и остается
) = -1>А. (46,6)
Кроме того, введем вместо переменной х и функций А (х), i|) (х)
безразмерные величины
- х т I -л/ ~ т А о dA В
Ч^у-пгГ- В = Ц = 7ГС- (46-?)
Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться только этими
величинами, опуская для краткости черточки над буквами. Уравнение (45,12)
в этих переменных принимает вид
г|/' = х2 [(?- 1)^ + 'Ф3] • (46,8)
Уравнение же (45,13) с j из (46,6) приводится к виду
А" = А\(з2. (46,9)
Граничные условия к этим уравнениям в рассматриваемой задаче (отвечающие
п- и s-фазам при х-> - оо и х->-оо): г(з = 0, В - А' = 1 при х = - оо,
(46,10)
1(з=1, А' - 0 при х=оо.
Легко проверить, что уравнения (46,8-9) имеют первый интеграл
2х-21|з,г+(2 - Л2)1|з2-1(з4 + Л,г = const = 1; (46,11)
значение постоянной определено по граничным условиям1).
*) Из условия (46,10) автоматически следует, что при х->- ± оо также и
¦ф' = 0, а из этих же условий и уравнения (46,9) - что при х-> оо А" = 0
и А = 0 (определенное значение /1(оо) оказывается результатом выбора
вещественной 1)з).
224
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
Наконец, выражение (46,5) принимает вид 2 *
= S J [^V2 + (A*-2)V + r + (A'-ir]dx =
- 00 2 (r)
= j [^" + A'(A'-l)]dx (46,12)
- 00
(при переходе ко второму равенству член if4 выражен из (46,11)).
Приступим к исследованию написанных уравнений. Рассмотрим сначала случай
х <<с 1 (обычно выполняющийся в сверхпроводящих чистых металлах). Это
неравенство означает, что б (Т)<<?. <<с?(Т), т. е. магнитное поле
существенно меняется на расстоянии, малом по сравнению с характерным
расстоянием изменения функции ф(л:).
На рис. 6 схематически изображена картина распределения поля и if в этом
случае. В области, где поле велико, имеем if да О, затем поле резко
спадает, а функция if (я) начинает медленно (на расстояниях
л;~1/х) меняться в
отсутствие поля. Положив в (46,11) А - О, находим уравнение
О -№).
которое должно быть решено при условии if = 0 в точке л: = 0, выбранной
где-то внутри области спадания поля. Такое решение есть
$ = th(x*/K2), (46,13)
а вычисление интеграла (46,12) с этой функцией (и Л=0)дает
Нс&
Нс 1,96
3 V 2лк 8я и
(46,14)
Погрешность этого значения происходит от пренебрежения здесь вкладом в
интеграл от области, в которой спадает поле. Для оценки ширины 6* этой
области1) замечаем, с одной сто-
1) Подчеркнем, что она не совпадает с глубиной проникновения поля в
сверхпроводник из пустоты! В последнем случае в области проникновения
поля между тем как при проникновении из n-фазы поле спадает
в области с малыми ф.
§ 46]
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ФАЗ
225
роны, что, согласно уравнению (46,9), 6f2~ *|эа. С другой стороны,
формула (46,13) должна оставаться, по порядку величины, справедливой и на
границе области х ~ б1, откуда г|э ~ хб1. Из этих двух соотношений
находим б^к-1/2. Вклад же в поверхностное натяжение от этой области
оказывается ~ #2бк-1/2, т. е. мал по сравнению с (46,14) всего в
отношении ~ х1''2 (так что точность (46,14) сравнительно невелика).
При увеличении параметра х коэффициент поверхностного натяжения проходит
через нуль и становится отрицательным. Это видно уже из того, что
неравенство ans < 0 во всяком случае осуществляется при достаточно
больших значениях х. Действительно, характерные расстояния изменения
функции ij> (х) в этой задаче не могут быть меньшими, чем для изменения Л
(я), так как уже само по себе изменение А приводит к изменению ij>;
поэтому при большом х членом ij/ /х2 под знаком интеграла в (46,12) можно
пренебречь, а поскольку 0 < А' < 1 (т. е. О < В < в обычных единицах), то
подынтегральное выражение оказывается отрицательным. Покажем, что
обращение ans в нуль происходит при значении
х = 1/1/2. (46,15)
Для этого перепишем выражение для ans в виде
2 00
""' = ТЙГ I [И'-1)2-^]^ (46,16)
- 00
(оно получается из первого интеграла (46,12) интегрированием члена гр'*
по частям с последующей подстановкой г|/' из (46,8)). Интеграл заведомо
обратится в нуль, если будет тождественно равно нулю подынтегральное
выражение, т. е. если будет
А' -1= - № .(46,17)
(обратный знак в этом равенстве невозможен, так как поле В = А' должно
убывать с увеличением я). Исключив г|з из (46,17) и (46,9), найдем
уравнение
А" = А (1-А'), (46,18)
решение которого (при граничных условиях А' - 1 прия = - оо
и Л = 0 при х=°о) определит распределение поля; в силу
(46,17) граничные условия (46,10) для после этого выполнятся
