Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
---------- г г от оси нити |ip|2 остается уже постоян-
s ным1). Индукция же В (г) меняется зна-
Рис. 9, чительно медленнее, затухая лишь на
расстояниях г~6^>?. Другими словами, весь магнитный поток в основном
проходит по области вне сердцевины нити, где | -ф |а = const (рис. 9).
1) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую
координату- расстояние от оси.
§ 48]
СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ
233
Последнее обстоятельство позволяет использовать для нахождения
распределения поля уравнение Лондонов (применимость которого, напомним,
не связана с близостью температуры к Тс). Для придания ему нужного здесь
вида прежде всего перепишем формулу (44,7), связывающую плотность
сверхпроводящего тока с фазой волновой функции:
А + 62 rot В = 7^2- уФ, (48,4)
введя в нее глубину проникновения б и выразив j через индукцию согласно j
= crot В/4я. Лондоновскому приближению отвечает предположение б = const.
Проинтегрируем равенство (48,4) по замкнутому контуру С, охватывающему
нить и проходящему на расстояниях г^>| от ее оси. Преобразовав интеграл
от А по теореме Стокса в интеграл по поверхности, опирающейся на контур
С, получим
J В di + б2 f rot В ей = 0О, (48,5)
а преобразовав таким же образом и второй интеграл, пишем
j (В + б2 rot rot В) di = 0О; (48,6)
в правой стороне написано наименьшее возможное (отличное от
нуля) значение, отвечающее приращению фазы всего на одно 2я. Если контур
С проходит на расстояниях г^> б от нити, где поле и токи уже можно
считать отсутствующими, второй интеграл в (48,5) может быть опущен, и мы
видим, что 0О совпадает с полным потоком индукции, сосредоточенным вокруг
изолированной вихревой нити. Самая же ось нити представляет собой особую
линию, обход вокруг которой меняет фазу волновой функции.
Поскольку равенство (48,6) должно выполняться для любого контура С
(удовлетворяющего указанным условиям), то из него следует, что должно
быть
В + б2 rot rot В = В - б2 АВ = 0об (г), (48,7)
где г-двумерный радиус-вектор в плоскости поперечного сечения вихревой
нити. Запись правой стороны этого уравнения в виде б-функции означает,
что расстояния ~ ? рассматриваются здесь как нулевые. Во всем
пространстве, за исключением ли> нии г = 0, (48,7) совпадает с уравнением
Лондонов (44,11), но для описания вихревой нити требуется решение с
особенностью при г = 0.
Распределение поля на расстояниях г от оси в области б>г>| может быть
найдено прямо из (48,5). Выберем в качестве контура С окружность радиуса
г в этой области. Поток
234
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. V
индукции через этот контур (первый член в левой стороне (48,5))
составляет лишь малую часть всего магнитного потока - его долю ~ (г/6)2;
пренебрежем ею. Во втором члене d\ есть элемент длины окружности, а
поскольку вектор В направлен вдоль оси z (цилиндрической системы
координат с осью вдоль оси нити) и зависит лишь от г, то
(1 -единичный вектор касательной к окружности). Таким образом, приходим к
уравнению
Ввиду логарифмического характера этой зависимости верхний предел
интегрирования (на котором должно быть В " 0) может быть положен
совпадающим с верхней границей рассматриваемой области расстояний г.
Для продолжения найденного распределения в область г ^8 воспользуемся
уравнением (48,7), применимым при всех г^>%. Раскрыв оператор Лапласа в
цилиндрических координатах (с учетом того, что В = Вг(г)), перепишем
уравнение (при гф 0) в виде
Решение этого уравнения, убывающее при г-юо, есть
где К"-функция Макдональда (функция Ганкеля от мнимого аргумента).
Постоянный коэффициент определяется путем "сшивки" с решением (48,9):
используя известное предельное выражение К" (z) " In (2/zy) при 2<^1 (Y =
ec = l,78). Таким образом, окончательно
С помощью известного асимптотического выражения К0 (z)" л: (я/2г)1/ге~г
при г ->- оо находим отсюда, в частности, закон затухания поля вдали от
оси нити:
1 rot В
dB _ ф0
(48,8)
dr 2лгЬг '
откуда
В(Г) = 2^г1п7>
(48,9)
В" + уВ' + 8~*В = 0.
В (г) = const • Ко (г/б),
(48,10)
(48,11)
§ 48]
СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ
235
Обратим внимание на очевидную аналогию между свойствами вихревых нитей в
сверхпроводниках и в жидком гелии (§ 29). В обоих случаях речь идет об
особых линиях, обход вокруг которых меняет фазу конденсатной волновой
функции. Круговым траекториям сверхтекучего движения вокруг вихревых
нитей в жидком гелии соответствуют круговые токи в сверхпроводнике; в
первом случае по заксщу 1 /г убывает скорость сверхтекучего движения vs,
а во втором - по такому же закону убывает плотность сверхпроводящего тока
\=ёк,-
Это совпадение вполне естественно, поскольку в обоих случаях эти законы
являются прямым следствием существования особой линии. Но в то время как
в жидком гелии указанная зависимость vs(r) простирается до любых
расстояний, в сверхпроводнике убывание j (г) при г^> б становится
экспоненциальным. Это различие связано с заряженностью электронной
жидкости: движение заряженных частиц создает магнитное поле, которое, в
