Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
вихревых нитей к виду, в котором'интегрирования производятся лишь вблизи
каждой отдельной нити. Для этого пишем, используя уравнение (48,7):
Ва + б2 (rot В)а = б3 {- В rot rot В + (rot В)а} = б2 di v [В rot В].
Объемный интеграл преобразуется в интеграл
238 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [гл. V
взятый по цилиндрическим поверхностям и /2 (малого радиуса г0; ?<^/-
0<^8), охватывающим сердцевины нитей. При d^>| поля нитей аддитивны, т.
е. В = В] + В2. Энергия взаимодействия нитей дается той частью интеграла
(1), которая зависит одновременно от Вх и В2:
tB2rot J [Bj rot B2]df2j
(интегралы же вида ^ [B2 rot Bx] df2 стремятся к нулю при г0->-0). С
помощью (48,8) и (48,10) находим отсюда
812 = 2_8я 2ЛГ° 2ju0V В (d)== 8зх(r)63 К'° (т) '
В частности, на расстояниях d^> б:
г . . Фо ( б у/2 d/e п
2. Определить зависимость средней (по сечению цилиндрического образца)
магнитной индукции В от внешнего поля § в смешанном состоянии, в котором
вихревые нити расположены на расстояниях d^> б друг от друга, образуя (в
сечении образца) решетку из равносторонних треугольников.
Решение. Площадь равностороннего треугольника равна Y~3d2/4(d - длина
стороны), а число нитей равно половине числа треугольников в решетке {N
треугольников имеют 3N вершин, но в решетке каждая вершина принадлежит
шести соприкасающимся треугольникам), поэтому v = 2/ У 3d2.
Термодинамический потенциал f единицы объема тела в смешанном состоянии
l=fs~ v (- #ci + &) +"2 ^ S'*'
i, k
где второй член отвечает выражению (48,1) (с Нс1 из (48,2)); в третьем
члене е12-энергия взаимодействия двух нитей, а суммирование производится
по всем нитям, пересекающим единицу площади. Ввиду экспоненциального
убывания е]2 при d^>6, в сумме достаточно учесть лишь пары соседних
нитей, В треугольной решетке каждая нить имеет 6 ближайших соседей,
поэтому
У e'k =4 X81,1 = 3v8ia (d)~ i, k i
Подставив e12 из формулы (2) предыдущей задачи, находим
7=Гл- 0о Г § - I 30Q е~а "I 2 3 лб2 [ а2 ~f~2yr2n б2 а6/2_]'
где a = d/б. Зависимость а от § определяется условием минимальности
функции f (а); это дает
?_Яе1 =------Уае~а (3)
с А V2n&
(опущен член более высокого порядка по 1/а<^1). Это уравнение вместе с
равенством В = \фй, т. е.
а=(20о//3б25)1/2.
§ 49] ДИАМАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА
239
определяет искомую зависимость В(?>). Отметим, что при Ss->-Нс1
производная dB/dSs стремится к бесконечности по закону
& 1 , , 1
¦ С/Э -г:-77- 1П-3 -
d§ w 6-Яе1 Й-Я,
С1
§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода
В конце § 45 уже было отмечено, что область температур вблизи Тс, в
которой флуктуации параметра порядка гр становятся большими, в
сверхпроводнике чрезвычайно узка. Вне этой области флуктуационные
поправки к термодинамическим величинам, вообще говоря, очень малы. Они
могут, однако, оказаться существенными для магнитной восприимчивости
металла выше точки перехода: появление вследствие флуктуаций даже
относительно малого числа сверхпроводящих электронов может привести к
вкладу в магнитную восприимчивость, превышающему обычно очень малую
восприимчивость нормального металла вдали от точки перехода1).
Рассмотрим металл в слабом ($<^#с) внешнем магнитном поле при температуре
выше точки Тс, но близкой к ней. Равновесное значение параметра порядка
здесь = 0, а для вычисления его флуктуаций можно использовать свободную
энергию из теории Гинзбурга-Ландау. При этом в выражении (45,10) можно, в
виду малости флуктуаций, сохранить только квадратичные по гр члены,
опустив член с |гр|4 и понимая под А векторный потенциал однородного поля
$?. Флуктуации индукции В, связанные с флуктуациями тр, квадратичны по тр
(ввиду квадратичности плотности тока j). Поэтому в члене В2/8я можно
понимать под В среднее (термодинамическое) значение индукции, пренебрегая
ее флуктуациями. Таким образом, изменение полной свободной энергии
металла при флуктуации дается следующим выражением-функционалом от ip2):
Д7? [яр] = J j_L уА^яр 2 + a|ip|2JdK. (49,1)
Для вычисления флуктуационного вклада AF в свободную энергию надо
рассматривать функционал (49,1) как "эффектив-
х) Этот эффект был указан В. В. Шмидтом (1966).
2) Во избежание недоразумений подчеркнем, что магнитное поле не яв-
ляется по отношению к сверхпроводнику "внешним полем" h в том смысле,
как оно было введено в V § 144. Последнее должно было бы входить в
свободную энергию в виде члена -h (гр + г|з*), что в данном случае
заведомо невозможно ввиду неинвариантности- такого члена по отношению к
выбору фазы \|з.
240
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. v
ный гамильтониан", определяющий AF согласно формуле
ехр(- = J еХр Щ, (49,2)
где интегрирование (функциональное) производится по всем распределениям
т|)(г) (см. V § 147). Фактически оно осуществляется путем разложения т|з
по некоторой полной системе собственных функций и интегрированием по
бесконечному множеству коэффициентов этого разложения. В случае
однородной (без внешнего поля) системы разложение производится просто по
