Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
254
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. V
Произведя суммирование с помощью (42,10), представим эту формулу в виде1)
Q (^ = ТТ ' Р = <51'21)
4nk тс2 4%vp 2 Т
При 7<^7С имеем nswn, Д"Д" и тогда (5~1/6|.|0. При Тс-Т<^.ТС щель А мала,
так что th (Д/27) " Д/27,,; с учетом формул (40,4-5), (40,16) находим
снова (3 ~ 1/8??0. Таким образом, во всей области температур от 0 до Тс
Р~ 1/61?0. (51,22)
Итак, функция Q (к) остается примерно постоянной в области 1/?0 (причем
вблизи точки к = 0 разлагается регулярно по степеням fe2); вне этой
области функция Q (к) убывает, при fe^l/?0 - по закону l/k. Такому
поведению функции Q (к) отвечает координатная функция Q (г), убывающая
медленно (как 1 /г2) в области о и быстро (по экспоненциальному закону)
вне этой области. Таким образом, корреляция между полем и током
простирается всегда на расстояния ~ ?0. Подчеркнем, что это утверждение
справедливо во всей области температур от нуля до Тс. Тем самым мы пришли
к обоснованию сделанного уже в § 44 утверждения об универсальности ?0 как
характерного для сверхпроводимости параметра длины.
§ 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к задаче о
проникновении внешнего магнитного поля в сверхпроводник (в лондоновском
приближении эта задача была рассмотрена в § 44).
Пусть сверхпроводник ограничен плоской поверхностью и занимает
полупространство х > 0, а внешнее поле ф (а с ним и индукция В внутри
сверхпроводника) направлено параллельно поверхности, вдоль оси г. Тогда
все величины зависят только от координаты х, причем ток j и векторный
потенциал А (в калибровке с divA = 0) направлены вдоль оси у. Уравнение
Максвелла rot В = - AA = 4nj/c сводится к
A'(x) = ~j(x), х>0, (52,1)
где ' означает дифференцирование по х.
х) Формула такого вида была предложена Пиппардом (А. В. Pippard, 1953) на
основании качественных соображений еще до создания микроскопической
теории сверхпроводимости.
§ 52] ПРОНИКНОВЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В СВЕРХПРОВОДНИК 255
Граничные условия к этому уравнению зависят, однако, от физических
свойств поверхности металла по отношению к падающим на нее электронам.
Наиболее прост случай зеркального отражения электронов от поверхности.
Очевидно, что при такЬм законе отражения задача о полупространстве
эквивалентна задаче о неограниченной среде, в которой поле А (х)
распределено симметрично по обе стороны плоскости х = 0 (А(х) = А(-х)).
При этом производная А' (х), как нечетная функция х, будет испытывать при
х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении х через нуль. Другими словами,
условию В = А' = ,(д на поверхности полупространства в задаче с
неограниченной средой отвечает условие
Л'(+0)-Л'(-0) = 2?. (52,2)
Умножим уравнение (52,1) на е~'кх и проинтегрируем его по dx в пределах
от -оо до сю. В левой стороне уравнения пишем
СО 0 00 со
J A"e~ikxdx= J (A'e~ikx)'dx + J (А'е~'кх)'dx-\-ik J А'е~1кх dx.
- со - со 0 - во
Первые два интеграла дают в сумме -2§, а в последнем можно интегрировать
уже просто по частям, поскольку сама функция А (х) непрерывна при х = 0.
В результате мы приходим к равенству
2(r)+*М
где A (k) и }(k)-фурье-компоненты функций А (х) и j(x), определенных во
всем пространстве. Они связаны, следовательно, соотношением \j (k) =¦¦ -
Q (k) A (k), где Q (k) дается формулами, полученными в предыдущем
параграфе. Таким образом, для фурье-компонент поля находим
А ^ =- W+ШГЩГс ' (52>3)
Глубина проникновения б определяется как1)
6=-i-js(x)dx=-4i^. (52,4)
о
Выразив А(х = 0) через фурье-компоненты A (k) и подставив последние из
(52,3), имеем
б = - Ж I = S & + 4nQ(lkl)/c ' ^52,5).
*) При экспоненциальном законе затухания поля это определение совпа' дает
с определением в (44,13).
256
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
Основную роль в этом интеграле играет область значений k, в которой k2 ~
AnQ/c. В лондоновском случае (когда |0) эти значения малы в том смысле,
что/г?"<^1. При этом Q (k) дается не зависящим от k выражением (51,8), и
интегрирование в (52,5) приводит, естественно, к значению 5 = 8L.
В обратном, пиппардовском случае (когда 6? |0) существен-
ные в интеграле значения /г^>1 /|0. Здесь Q (k) дается выражением
(51,21), и интеграл (52,5) дает
-б = б/) = 4/33/2Р1/а. (52,6)
С учетом (51,22) находим, таким образом, что пиппардовская глубина
проникновения
6я~(61У1'3. (52,7)
Изложенные вычисления относились к случаю зеркального отражения
электронов от поверхности металла. В лондоновском случае, однако, глубина
проникновения вообще не зависит от закона отражения, как это ясно из
вывода значения SL в § 44; при 8^>|0 детали структуры поверхности не
существенны.
Но и в пиппардовском случае зависимость глубины проникновения от закона
отражения фактически оказывается весьма незначительной. Так, в обратном,
по отношению к зеркальному, случае диффузного отражения (когда
направления скоростей отраженных электронов распределены изотропно при
любом направлении падения) значение 8Р оказывается всего в 9/8 раз
