Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, из ортогональности i|)Sk с различными s и одинаковыми к
следует ортогональность функций usк. При этом ввиду их
периодичности достаточно производить интегрирование по
объему v одной элементарной ячейки решетки; при
соответствующей нормировке
^ Us'kUsk (tv = 5ss'• (55,4)
Смысл вектора к состоит в том, что определяет поведение волновой функции
при трансляциях: преобразование г->-г + а умножает ее на eika,
^sk (г + а) = е?ка\|> (г). (55,5)
Отсюда сразу следует, что величина к по самому своему определению
неоднозначна: значения, отличающиеся на любой вектор b обратной решетки,
приводят к одинаковому поведению волновой функции (множитель exp \i (k -f
b) а} = exp (ika)). Другими словами, такие значения к физически
эквивалентны; они соответствуют одному и тому же состоянию электрона, т.
е. одной
§ 55]
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
267
и той же волновой функции. Можно сказать, что функции периодичны (в
обратной решетке) относительно индекса к:
^s, к + ь (г) = oj^sk (г). (55,6)
Периодична также и энергия:
es (k + b) = (к). (55,7)
Функции (55,2) обнаруживают определенное сходство с волновыми функциями
свободного электрона-плоскими волнами о)з = const -exp (ipr/Д); при этом
роль сохраняющегося импульса играет постоянный вектор fik. Мы снова (как
и для фонона - см. V § 71) приходим к понятию о квазиимпульсе электрона в
периодическом поле. Подчеркнем, что истинного сохраняющегося
импульса в этом случае вообще нет, так как во внешнем
поле закон сохранения импульса не имеет места. Замечательно, однако, что
в периодическом поле электрон тем не менее характеризуется некоторым
постоянным вектором.
В стационарном состоянии с заданным квазиимпульсом fik истинный импульс
может иметь, с различными вероятностями, бесконечное число значений вида
^(k + b). Это следует из того, что разложение периодической в
пространстве функции в ряд Фурье содержит члены вида е'Ьг:
и*к (0 = 2^5, к + ье'Ьг, ъ
и потому разложение волновой функции (55,2) на плоские волны
^sk (r) = 2as,k + i,el(k + b>r. (55,8)
b
Тот факт, что коэффициенты разложения зависят только от сумм k + b,
выражает собой свойство периодичности в обратной решетке (55,6).
Подчеркнем, *гго этот факт, как и свойство (55,6), не есть дополнительное
условие, налагаемое на волновую функцию, а является автоматическим
следствием периодичности поля U (г).
Все физически различные значения вектора к лежат в одной элементарной
ячейке обратной решетки. "Объем" этой ячейки равен (2л)3lv, где v - объем
элементарной ячейки самой решетки кристалла. С другой стороны, объем
к/2я-пространства определяет число соответствующих ему состояний
(приходящихся на единичный объем тела). Таким образом, число таких
состояний, заключенных в каждой энергетической зоне, равно l/v, т. е.
числу элементарных ячеек в единице объема кристалла.
Помимо своей периодичности в k-пространстве функции (к) обладают также и
симметрией по отношению к поворотам и отражениям, отвечающим симметрии
направлений (кристалличе-
268
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[гл. VI
скому классу) решетки. При этом, независимо от наличия или отсутствия
центра симметрии в данном кристаллическом классе, всегда
es (- k) = ef (к). (55,9)
Это свойство-следствие симметрии относительно обращения времени.
Действительно, в силу этой симметрии, если - волновая функция
стационарного состояния электрона, то и комплексно-сопряженная функция
а()*к описывает некоторое состояние с той же энергией. Но oj)sk
умножается при трансляциях на е~'ка, т. е. ей отвечает квазиимпульс -к1).
Рассмотрим, далее, два электрона в периодическом поле. Рассматривая их
вместе как одну систему с волновой функцией Ч5 (ri, г2), мы найдем, что
при параллельном переносе эта функция должна умножиться на множитель вида
е'ка, где к можно назвать квазиимпульсом системы. С другой стороны, на
больших расстояниях между электронами if (rt, г2) сводится к произведению
волновых функций отдельных электронов и при трансляции умножится на
eikiaeik**. Из требования совпадения обоих видов записи этого множителя
находим, что
k = k1 + k2 + b. . (55,10)
В частности, отсюда следует, что при столкновении двух электронов,
движущихся в периодическом поле, сумма их квазиимпульсов сохраняется с
точностью до вектора обратной решетки:
ki + k2 = kj + k2 -f- b. (55,11)
Дальнейшая аналогия между импульсом и истинным импульсом выясняется при
определении средней скорости электрона.
Вычисление ее требует знания оператора скорости v = r в к-пред-ставлении.
Операторы в этом представлении действуют на коэффициенты cSk разложения
произвольной волновой функции по собственным функциям о)^:
^ = 2 ^ ^sk ^sk d 3k. (55,12)
S
Найдем сначала оператор г. Имеем тождественно
^ = ЛIс*НЬкd3k = 2 JCsk (- i -fir + ief ilI-^)d3k'
S S *
v) При наличии перекрытия зон из этих рассуждений следует, строго говоря,
лишь что (-k) = es, (к), где s и s'-номера каких-либо зон. Равенства
(55,9) можно, однако, всегда добиться путем надлежащего определения
