Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
номеров различных ветвей функции 8 (к).
§ 55] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 269
В первом члене производим интегрирование по частям, а во втором разложим
периодическую (как и сама uSk) функцию duSk/'dk по системе взаимно
ортогональных функций uSk с тем же к:
^ = -t^<sk|Q|s'k>us-k, (55,13)
S'
где <sk|Q|s'k> - постоянные коэффициенты. Тогда получим
= E J ~^rd3k +Е J Csk <sk I й 1 s'k> 1|:s,kd3k =
S ss'
= {i-^L + E<s,klQlsk>Cs'k}1l,sk^-
s s'
С другой стороны, по определению оператора г, должно быть гф = 2 [ (fCsk)
^sk d3k.
S ^
Сравнив с полученным выражением, находим
f = + (55,14)
где оператор (эрмитов) Q задается своей матрицей <s'k|Q|sk>. Существенно,
что эта матрица диагональна по индексу к, и поэтому оператор Q
коммутативен с оператором k = k.
Оператор скорости получается, по общим правилам, путем коммутирования
оператора г с гамильтонианом электрона. В k-представлении гамильтониан Н
является диагональной по к и номерам зон s матрицей с элементами е^(к)1).
Оператор же д/дк, действующий только на переменную к, диагонален по
номерам s. Поэтому в выражении
первый член является диагональной матрицей с элементами
__________________Lfe (к)-_____- е (10^ - 1 дМк)
Матричные же элементы Q связаны с матричными элементами Q соотношением
<sk | fl |s'k> = j [е* (к) - es> (к)] <sk | fl | s'к>;
*) Точнее, надо говорить о ks-представлении. Напомним, что волновые
функции в этом представлении, csk, не вполне произвольны-они должны быть
периодичны по к,
270
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
[ГЛ. VI
это выражение обращается в нуль при s = s', т. е. й не имеет элементов,
диагональных по номеру зоны. Таким образом, окончательно находим для
матричных элементов скорости электрона
<sk| v|sk>=^^, <sk|v|s'k> = <sk|fi|s'k> (s=^s'). (55,15)
rv dk
Диагональные элементы этой матрицы представляют собой средние значения
скорости в соответствующих состояниях. Эти значения, следовательно, как
функции квазиимпульса даются выражением
^=Тз!г' (55,16)
полностью аналогичным обычному классическому соотношению.
До сих пор мы вели изложение, отвлекаясь от наличия у электронов спина. В
пренебрежении релятивистскими эффектами (спин-орбитальным
взаимодействием) учет спина приводит просто к двукратному вырождению
каждого уровня энергии с заданным значением квазиимпульса к - по двум
значениям проекции спина на какое-либо фиксированное направление в
пространстве. С учетом же спин-орбитального взаимодействия ситуация
различна в зависимости от того, имеет ли или нет кристаллическая решетка
центр инверсии.
Спин-орбитальное взаимодействие для электрона в периодическом поле
описывается оператором
^ = 3^[aVt/]V, (55,17)
где о-матрица Паули (см. IV § 33). Волновые функции, на которые действует
этот оператор,- спиноры первого ранга ipska. где а-спинорный индекс.
Согласно теореме Крамерса (см. III § 60), относящейся к любому (в том
числе периодическому) электрическому полю, комплексно-сопряженные спиноры
¦Jpska и ipska всегда описывают два различных состояния с одной и той же
энергией. Поскольку в то же время функция ipska отвечает квазиимпульсу -
к, то мы снова (теперь уже и с учетом спин-орбитального взаимодействия)
приходим к соотношению типа (55,9): *
esa (- k) = esa- (k), (55,18)
где индексы а и а' отличают два различных (обращенных по
времени) спиновых состояния 1).
J) С учетом спин-орбитального взаимодействия оператор проекции спина уже
не коммутативен с гамильтонианом, так что эта проекция не сохраняется и
спиновые состояния не могут, строго говоря, характеризоваться этим
числом.
§ 55]
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
271
il(x)
Равенство (55,18) не означает, конечно, вырождения в том смысле, о
котором говорилось выше, поскольку энергии в обеих сторонах равенства
относятся к различным значениям к. Но если решетка обладает центром
инверсии, то состояния с к и -к имеют одинаковую энергию. Тогда мы
приходим к равенству esa(k) = esa- (к), снова означающему двукратное
вырождение каждого уровня с заданным квазиимпульсом.
Наряду с вырождением, связанным с симметрией относительно обращения
времени, для электрона в периодическом
поле может существовать также и вырождение, обязанное пространственной
симметрии решетки. Этим вопросам посвящен ниже § 68.
Ж
~Ь О
а
а + Ь
Рис. 10.
Задачи
1. Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в
периодическом поле, изображенном на рис. 10 (R. Kronig, W. G. Penney,
1930). Решение. Волновая функция в области ямы I (0 < х < а) имеет вид
\Ь = с1еы'х'+с2е-ы'х, а в области барьера II (-b < х < 0):
¦^ = с^1НгХ
Х2
у.!= У 2 melh,
= V2т (е - U0)/1ь.
(1)
(2)
В области следующего барьера III волновая функция должна отличаться от
(2) лишь фазовым множителем е!к{-а + Ь) (а-\-Ъ - период поля):
1|) = е1А(а + 6)(Сзе''я. (*-"-*) _|-C4e-i*" (х-а-Ь))'
(3)
Условия непрерывности г|) и г|/ в точках х = 0 и х = а дают четыре
уравнения для Ci, с,; условие совместности этих уравнений приводит к
дисперсион-
