Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
(конечному) члену первого приближения были бы заведомо малы по сравнению
с последним при всех температурах, и полюс не мог бы появиться.
Этому требованию удовлетворяет ряд "лестничных" диаграмм
-и--7 3*-I*-|*-1 3¦*-р-р-Р-^ ,
1 4- 11 4- ' 1 1 4-.
+ II т I I I т*
\pf _
Р ) - I , , -г I I I -г
-и-2 +
4 2
Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах (начиная со
второй) малость по взаимодействию (от прибавления пунктирных линий)
компенсируется, в указанном смысле, расходимостью интегралов1).
Применив к этому ряду прием, который был уже использован при переходе от
(17,3) к (17,4), найдем, что равенство (54,2) эквивалентно диаграммному
уравнению . р3 /7
-3 7 = - № (54>з)
РГ---------г*-----/"
_________ х 1 у3
-Я, -Р, ~Р3 Р] ~Р3 ~Р!
Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают аргументы, которые
указаны в (54,3) уже с учетом условий (54,1):
^i = (0, pi), ря = (о, р3). <2 = (i?" ч)-
Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа отделяется в виде
$а°р = 8ар$(0>, а спиновая зависимость вершинной функции (без
антисимметризации!)-в виде
'ув,а&(Рз< Р ^*i> Р2) = 8<xy§P6 $"(Рз> Рi'y Рц Р%)'
Раскрыв диаграммы (54,3) по указанным в § 38 правилам и сократив спиновые
множители, получим для функции dT интегральное уравнение
се
<^(Рз,-р,; Pu-vJ+t ? J ^(Рз ч) ^<0) (?i>q) ^<0) (- -q) х
d3q (2п)
Xc0r(q, - q; Pi,-р1)-й = У (Pi-p.). (54,4)
x) К диаграммам (54,2) надо было бы добавить еще такой же ряд диаграмм с
переставленными концами 3 и 4, что приводит к антисимметризации вершинной
функции по ее спиновым и орбитальным аргументам. Однако для поставленной
здесь цели определения Тс этого можно не делать, так как в обеих этих
частях вершинной функции полюс появляется одновременно.
262
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые значения дискретной
переменной Z,s и значения q вблизи ферми-поверхности (см. ниже). Поэтому
в множителях U ИоГ под знаком интеграла можно положить 2^ = 0 и q = pF-
На ферми-поверх-ности лежат также и векторы р* и р3. Таким образом, все
функции iT и U в уравнении (54,4) будут зависеть каждая лишь от одной
независимой переменной - угла между какими-либо двумя из трех векторов
рг, р3, qua ферми-поверхности.
Уравнение (54,4) можно теперь решить, разложив U и <f в ряды по полиномам
Лежандра:
оо
V №)=Е(2* + 1)агРг (COSа),
1 = 0
(54,5)
"^(а) = Ё(2*+1)<^р/ (cos#),
1 = 0
где -& - какой-либо из указанных углов. Подставив эти разложения в (54,4)
и произведя интегрирование по направлениям с помощью, теоремы сложения
сферических функций, получим
<^(1+^11) = ^, (54,6)
где
П = г? J|S"(E" = (54,7)
S= -00 ' s= - 00 S 1 *<l
функция ?(0> взята из (37,13), a T]q == q2/2m - u ж vP(q-pP). Согласно
формуле суммирования (42,10), имеем
n-wIth-5T?- <54'8>
Расходимость интеграла по dq = d'x\/vF на верхнем пределе фиктивна (ср.
примечание на стр. 189) и интеграл должен быть обрезан при некотором
Ti^e,1). Но при Т-*-0 интеграл расходится логарифмически также и на
нижнем пределе, т. е. ведет себя как In (1/Т). ,
Из (54,6) видно, что ?Гt обращается в бесконечность (т. е. имеет полюс)
при условии
1+о,П = 0. (54,9)
1) В виду быстрой сходимости суммы по s в (54,7) в ней действительно
существенны лишь малые Cs, а логарифмический характер интеграла no dq
оправдывает предположение о близости q к pF.
ЭФФЕКТ КУПЕРА
263
Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяющим точку
перехода при спаривании с 1 = 0, отличаясь от него лишь заменой
"константы связи" g на -at (ср. (42,11)); понимая эту формулу как
уравнение для определения Тс, надо положить в ней Д=0, после чего е(р)
совпадает с т]р. Мы видим, следовательно, что вершинная функция имеет
полюс, если хотя бы одна из величин at отрицательна; при этом температура
перехода
(ср. (40,4) и (39,19)). Если aL < 0 при ряде различных значений I, то
переход происходит при температуре Т(с!\ отвечающей максимальному l^l1).
Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости), состоящем из
электрически нейтральных атомов, величины at во всяком случае должны
стать отрицательными при достаточно больших значениях I (Л. П.
Питаевский, 1959). Причина заключается в том, что во взаимодействии
нейтральных атомов всегда есть область расстояний (больших), на которых
оно имеет характер притяжения-так называемое ван-дер-ваальсово
притяжение.
В реально существующей жидкости такого рода-жидком изотопе Не3 -
возникновение сверхтекучести происходит, по-видимому, за счет спаривания
с / = 1 2). Мы не будем останавливаться на структуре сверхтекучей фазы и
обсудим лишь кратко вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту
фазу от нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода и отличной
от нуля ниже нее, является аномальная гриновская функция Fa${t, i\; t,
r2)=E.Fap (гх-г2); как было уже указано в § 41, она играет роль волновой
функции связанных пар частиц. Ее фурье-компонента Fa$ (р), взятая на
