Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
= -SPA<k)S'"(?"p-i),
(51,15)
/(?*. Р)-А?(^> Р) =
= ^РА (к)Г'"(ь,Р-4).
^-2к(р+4У+^
После простых преобразований с использованием выражений (42,7-8) для
функций и <?т решение этих уравнений приводится к виду
g (Is, Р) = - -РА (к) . (51,16)
тс (?s + e+) (6s+ е_)
где е± = е(р + к/2), г]± = т] (р ± к/2) (функция же /(^, р) нам ниже не
понадобится).
Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из известного выражения
оператора плотности тока в представлении вторичного квантования1)
J
= ^[(v4ri)4ra-4ri(v4r")'
Для перехода к мацубаровскому представлению этого оператора достаточно
заменить гейзенберговские Ф, XF+ на мацубаровские
Вспомнив определение гриновской функции (37,2), найдем, что плотность
тока (диагональный матричный элемент
оператора j, усредненный по распределению Гиббса) может быть записана в
виде
j (г) = 2^ [(V' - V)"(т, г; т', г')] ?=r~ А (г) ",(51,17)
где п-плотность числа частиц (множитель 2 возникает от Saa = 2S).
При подстановке в (51,17) g = g<0)член с $<0) выпадает: для однородной и
изотропной системы функция $(0) (г-г') четна, и ее производная при г-г'=0
обращается в нуль. Перейдя
х) См. III § 115. Здесь опущен член, представляющий вклад в ток от спина
частиц. Для неферромагнитной системы (когда гриновская функция $ар =
бар$) этот член ПРИ усреднении обращается в нуль.
252 сверхпроводимость {гл. v
также к разложению Фурье по т-т', получим
се
Иг) = ?т Е г, г'Жг-^А(г),
5= - зо
а после подстановки А (г) и $<1) из (51,13) и (51,14)- ,
J(k)=-^rE jp*(k,P)^T"A(k).
S= - се "/
При подстановке сюда #(^, Р) из (51,16) удобно сразу учесть поперечность
векторов j (к) и А (к) и произвести усреднение по направлениям рх в
плоскости, перпендикулярной направлению к, по формуле
JZIpTk = 4г sin2 9 (б,-А-,
где 0 - угол между к и р. В результате находим следующее выражение для
функции Q (к), определяющей связь между j(k) и А (к):
, пе^ I3 ' тс
Q( к)=41 V f,.sm-8(fchl±Mb±a4±^^
тс J (Й + еа+) (Й+ <=-) (2я>
(51,18)
e± = Ti±+Aa,
Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма формально
расходятся. Хотя эти расходимости в действительности фиктивны, но при
вычислении требуется осторожность: до устранения расходимости результат
может зависеть даже от порядка, в котором производятся интегрирование и
суммирование.
Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное обстоятельство,
что при Л = 0 должно быть Q = 0-в нормальном металле сверхпроводящий ток
вообще отсутствует. Поэтому мы не изменим ответа, если вычтем из (51,18)
такое же выражение с Д = 0:
п /ьл V f г • = n / + ^ tt'?j4~rl -)Ч~А2
^М_т*с Е sin 9 \ (?2s + 4)(^+eL)
S= - 00 V
"(^-Ч+)("С,-Т1-)} да-* (51,19)
Это выражение уже хорошо сходится и интегрирование и суммирование в нем
можно производить в любом, порядке.
§ 51] СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ
253
Отметим прежде всего, что интересующие нас значения к малы в том смысле,
что k<^.pF, это неравенство выражает собой просто тот факт, что
характерные расстояния, на которых в сверхпроводнике меняются поле и ток,
велики по сравнению с межчас-тичными расстояниями (т. е. по сравнению с
~1 /рР).
Произведем в (51,19) сначала интегрирование по dp. Этот интеграл
сосредоточен в основном в узкой области импульсов вблизи ферми-
поверхности - в области |р-pF\~k. В этой области
множительр2 в подынтегральном выражении можно заменить на pF, а
интегрирование по d3p-интегрированием по 2nmpFdr\ d cos 0. После этого
интеграл по d\\ от второго члена в фигурных скобках в (51,19) обращается
в нуль: путь интегрирования в нем может быть теперь замкнут бесконечно
удаленной полуокружностью в плоскости комплексного т), и обращение
интеграла в нуль есть следствие того, что оба полюса подынтегрального
выражения находятся в одной и той же полуплоскости (верхней или нижней в
зависимости от знака ?f). Интегрирование по dr) в первом члене в (51,19)
производится элементарно, после чего остается лишь интеграл по переменной
a: = cos0. Введя также плотность п согласно равенству pF - 3jx 3 п,
получим окончательный результат в виде (в обычных единицах)
(J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, 1957)J).
В предельном случае малых значений k где
?,0~fivF/A0~fwF/Tc-длина когерентности) можно показать, что выражение
(51,20) сводится к не зависящему от k лондоновскому выражению (51,8); мы
не будем останавливаться здесь на этом.
В обратном предельном случае, когда &|0^>1, в интеграле
(51,20) существенна область х^ТcllikvF<^. 1. Поэтому можно пренебречь
х2 по сравнению с 1 в числителе подынтегрального выражения, после чего
(ввиду быстрой сходимости) распространить интегрирование от -оо до оо. В
результате найдем
Т)± ж Т) ± -j vFk cos 0"t)f(/) - pF)±~2 Vpk cos 0,
00
A3(l - x*)dx
Ij [?| + A2+ (hvFkx/2)2]\ (gs-f-A2)1/2 '
(51,20)
?, = (2s + l)n7'
00
/"Wl 4 OJl iia I ^4 LA-
Зл2пе2Т
J) Изложенный метод получения этого результата с помощью температурных
гриновских функций принадлежит А. А. Абрикосову и JI. П. Горькову (1958).
