Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Как н в тексте, это сводится к нахождению наименьшего собственного
значения уравнения Шредингера (47,1). При условии R<^.b последнее можно
искать с помощью теории возмущений по отношению к внешнему полю, причем
невозмущенная волновая функция = const (зародыш занимает весь объем
шарика) Собственное значение определяется тогда просто как среднее
значение оператора возмущения (2еА/с)2/4т (среднее же значение от
оператора (ieh/nic)(Av) при = const равно нулю). При этом векторный
потенциал однородного поля должен быть выбран в виде А = [$?г]/2; именно
при такой калибровке решение = const удовлетворяет на поверхности шарика
граничному условию (45,15), сводящемуся к требованию пА = 0. Произведя
усреднение, найдем
с _ е2 2 с,2-2-е2Ъ2К2 0 Ате1 3 ° Г 10тса '
Критическое поле определяется (как и в тексте) условием ?0 = |а|,
приводящим к результату
н<шгр>= YWHcb!R.
Допустимость использования теории возмущений подтверждается тем, что
найденное значение Е0 (при § = //<шар)) при условии Rб действительно мало
по сравнению со следующим собственным значением, которое соответствовало
бы уже переменной в объеме шарика волновой функции и имело бы порядок
величины %i/mRi,
§ 48]
СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ
231
§ 48. Структура смешанного состояния
Будем снова (как и в предыдущем параграфе) рассматривать цилиндрический
образец сверхпроводника второго рода, находящийся в продольном магнитном
поле Выясним структуру смешанного состояния, в котором тело будет
находиться в полях, лишь немногим превышающих нижнее критическое поле
Нс1х).
В этом случае в основную, сверхпроводящую фазу вкраплены зародыши
нормальной фазы. Для достижения максимальной термодинамической выгодности
они должны иметь (при отрицательном поверхностном натяжении!) по
возможности большую поверхность. Естественна поэтому структура, в которой
зародыши /г-фазы представляют собой нити, параллельные направлению поля.
Вблизи этих нитей (их называют вихревыми) сосредоточены и проникшее в
тело магнитное поле, и охватывающие нити кольцевые сверхпроводящие токи.
Чем ближе внешнее поле к Нс1, тем меньше в теле таких нитей и тем больше
расстояние между ними. Когда последнее достаточно велико, к отдельным
вихревым нитям становятся применимыми изложенные в конце § 44
соображения, в силу которых полный сосредоточенный вблизи нити магнитный
поток должен быть целым кратным от элементарного кванта потока 0о =
яДс/|е|; мы увидим ниже, что термодинамически выгодны нити с наименьшим
возможным потоком-одним 0О. Именно конечность ф0 ставит предел
дальнейшему дроблению зародышей нормальной фазы.
Когда внешнее поле, увеличиваясь от малых значений, достигает значения
Нс1, в цилиндре появляется одна вихревая нить. Напишем термодинамическое
условие, определяющее этот момент, не вникая сначала в структуру самой
нити, а учитывая лишь то обстоятельство, что с ней связана некоторая
(положительная!) энергия; эту энергию, отнесенную к единице длины нити,
обозначим через е (в дальнейшем она будет вычислена).
Очевидно, что в цилиндрическом теле в продольном внешнем поле индукция В
тоже будет везде направлена вдоль оси цилиндра. Это же относится и к
макроскопической напряженности поля Н = В - 4яМ, введенной в § 46. Из
уравнения rotH = 0 следует тогда, что Н постоянно вдоль сечения (а потому
и всего объема) цилиндра; в силу граничного условия непрерывности
тангенциальной компоненты Н это постоянное значение совпадает с внешним
полем: Н = ф. Таким образом, мы должны рассмотреть термодинамическое
равновесие тела при заданных его объеме, температуре и напряженности поля
Н. Условие такого
*) Излагаемые в этом параграфе (и в задачах к нему) результаты
принадлежат А. А. Абрикосову (1957).
232 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ [гл. V
равновесия состоит в минимальности/^-термодинамического потенциала по
отношению к указанным переменным (см. VIII §30). Пусть Fs-этот потенциал
для сверхпроводящего цилиндра (поскольку в сверхпроводящей фазе В = 0, то
Fs совпадает со свободной энергией Fs). Тогда потенциал F для цилиндра с
одной вихревой нитью будет
F^F.+U-l^iV^F.+U-^lBdV.
Член Le есть свободная энергия нити (L-длина нити, совпадающая с длиной
цилиндра), а последний член отличает потенциал F от свободной энергии F.
Поскольку индукция В в теле сосредоточена лишь вблизи вихревой нити, то ^
В dV = Ьф0, где ф0-поток индукции через сечение нити. Таким образом,
F = Fs+Lb-^ . (48,1)
Возникновение вихревых нитей становится термодинамически выгодным, когда
добавка к Fs делается отрицательной. Приравняв же ее нулю, мы найдем,
следовательно, критическое значение внешнего поля
Яс1 = 4ле/0О. (48,2)
Рассмотрим теперь структуру одиночной вихревой нити. Мы ограничимся
- важным случаем, когда
к>1, (48,3)
т. е. 8^>?. Длина ? определяет порядок величины радиуса "сердцевины"
нити, в которой | -ф |* меняется от нуля (отвечающего нормальному
состоянию на оси нити) до конечного значения, отвечающего
__ основной s-фазе; на больших расстояниях
