Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
равным внешнему полю Если выбрать векторный потенциал в виде А = 1/а
[§г]. т° можно положить просто
(т. е. положить в (44,7) Ф = 0); граничное условие исчезновения
нормальной составляющей тока (nj = 0) на поверхности шарика выполняется
тогда автоматически. Магнитный момент вычисляется как интеграл
§ 45. Уравнения Гинзбурга - Ландау
Полная теория, описывающая поведение сверхпроводника в магнитном поле,
очень сложна. Ситуация, однако, существенно упрощается в области
температур вблизи точки перехода. Здесь оказывается возможным построить
систему относительно простых уравнений, причем применимых не только в
слабых, но и в сильных полях1).
В общей теории Ландау фазовых переходов второго рода отличие
"несимметричной" фазы от "симметричной" описывается параметром порядка,
обращающимся в точке перехода в нуль (см. V § 142). Для сверхпроводящей
фазы естественным таким параметром является конденсатная волновая функция
Н. Во избежание излишних (с принципиальной точки зрения) усложнений будем
считать симметрию металлического кристалла кубической; как было указано в
§ 44, в этом случае сверхпроводящее состояние характеризуется скалярной
величиной ns- плотностью сверхпроводящих электронов. Более удобным
выбором параметра порядка в этом случае является величина (обозначим ее
через г);), пропорциональная S, но нормированная условием |'ф|а = п^/2.
Фаза величины "ф совпадает с фазой функции Е:
j = - (nse2/mc)A
по объему шарика и равен
(45,1)
х) Излагаемая ниже теория принадлежит В. Л. Гинзбургу и Л. Д. Ландау
(1Е50). Замечательно, что она была построена феноменологическим путем,
еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости.
214
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
Плотность сверхпроводящего тока (44,2), выраженная через г)з,
записывается в виде
is =4-1 ^ I2 = ^ (Ч?* W*). (45,2)
Отправным пунктом теории является выражение для свободной энергии
сверхпроводника, как функционала от функции г]5 (г). В соответствии с
общими положениями теории Ландау, оно получается разложением плотности
свободной энергии по степеням малого (вблизи точки перехода) параметра
порядка г(5 и его производных по координатам. Сначала рассмотрим
сверхпроводник в отсутствие магнитного поля.
В соответствии со своим смыслом как величины, пропорциональной гриновской
функции F{X, X) = - iB(X), параметр порядка -ф неоднозначен: поскольку
функция F (X, X) составлена из двух операторов Ф, то произвольное
изменение фазы этих операторов, Ф -eia/2, приводит к изменению фазы
функции F на а. Физические величины не должны, конечно, зависеть от этого
произвола, т. е. должны быть инвариантны по отношению к преобразованию
комплексного параметра порядка: -ф-
Этим требованием исключаются члены нечетных степеней по г|з в разложении
свободной энергии.
Конкретный вид этого разложения устанавливается на основе тех же
соображений, что и в общей теории фазовых переходов второго рода (см. V §
146). Не повторяя этих рассуждений, напишем следующее разложение полной
свободной энергии сверхпроводящего тела *):
/r = ^ + I{^',Vl|5|2 + fl|l|5|3+^^|4}dK- (45'3)
Здесь Fn-свободная энергия в нормальном состоянии (т. е. при i|j = 0); Ь-
зависящий лишь от плотности вещества (но не от температуры) положительный
коэффициент; величина а зависит от температуры по закону
а = {Т-Те)а, (45,4)
обращаясь в нуль в точке перехода; коэффициент а > 0 в соответствии с
тем, что .сверхпроводящей фазе отвечает область Т <ТС; коэффициент при |
уф|а в (45,3) выбран так, чтобы для тока получалось выражение (45,2) (см.
ниже)2). Тот факт, что
х) Напомним лишь, что написанный вид градиентного члена связан с
предположенной кубической симметрией кристалла. При более низкой
симметрии он имел бы вид более общей квадратичной формы из производных
dty/dx(.
2) Этот выбор (в том числе отождествление m с истинной массой
электрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере,
как и определение ns в (44,2).
УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-----ЛАНДАУ
215
в (45,3) фигурируют лишь первые производные от if, связан с
предположением о достаточной медленности изменения if в пространстве.
В однородном сверхпроводнике, в отсутствие внешнего поля, параметр of не
зависит от координат. Тогда выражение (45,3) сводится к
^ = + |'i|>l2 + -xl'lH4- (45>5)
Равновесное значение | if ]2 (при Т < Тс) определяется условием
минимальности этого выражения:
-Т = Т Рс-П (45,6)
плотность сверхпроводящих электронов в зависимости от температуры
обращается в точке перехода в нуль по линейному закону.
Подставив значение (45,6) обратно в (45,5), найдем разность свободных
энергий сверхпроводящего и нормального состояний:
F-Fn=-V^(TC-Tf. (45,7)
Дифференцированием по температуре отсюда можно найти разность энтропий, а
затем и скачок теплоемкости в точке перехода J):
Ct-Cn=V^-. (45,8)
Вблизи точки перехода разность (45,7) представляет собой малую добавку в
свободной энергии. Согласно теореме о малых добавках (V § 15), эта же
