Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
величина (выраженная в функции температуры и давления вместо температуры
и объема) дает разность термодинамических потенциалов -Фп. С другой
стороны, согласно общей формуле термодинамики сверхпроводников (см. VIII
(43,7)), эта разность совпадает с величиной -VHl/8n, где Нс - критическое
поле, разрушающее сверхпроводимость. Таким образом, находим для
последнего следующий
1) Сравнив формулы (45,6) и (45,8) для | г|> )2 = ps/2m и для скачка
теплоемкости с формулами (40,16) и (40,11) для тех же величин в модели
БКШ, можно найти значения коэффициентов а и Ь в этой модели (Л. П.
Горьков, 1959):
а = 6я27у7? (3) ц = 7,04 • Tc/\i, Ь = аТе/п;
использована связь плотности числа частиц я = р/т и химического
потенциала ц, (при 7' = 0) с предельным импульсом как для идеального
газа:
п = рр/Зя2Л3, [i = pf/2m.
216
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. V
закон температурной зависимости вблизи точки перехода1):
Нс=^?У'={Щг)'иР'--Т)' (45-9)
При наличии магнитного поля выражение (45,3) для свободной энергии должно
быть изменено в двух отношениях. Во-первых, к подынтегральному выражению
надо добавить плотность энергии магнитного поля Ва/8я (где B = rotA -
магнитная индукция в теле). Во-вторых, надо изменить градиентный член
таким образом, чтобы удовлетворить требованию калибровочной
инвариантности. В предыдущем параграфе было показано, что это условие
приводит к необходимости замены градиента фазы конденсатной волновой
функции уФ разностью уФ-2еА/%с. В данном случае это значит, что надо
заменить:
V^) - | "Ф | + йр УФ ->- У"Ф -jr- Аг|?.
Таким образом, мы приходим к следующему основному выражению:
^"+1{1г+1ЖтН?аИ+оЖ'+тж'}'я'
(45.10)
(Fn0-свободная энергия тела в нормальном состоянии в отсутствие
магнитного поля). Подчеркнем, что коэффициент 2iel%c в этом выражении
имеет безусловный характер (в отличие от отмеченной выше условности
выбора коэффициента %г1\т). Удвоение заряда электрона в нем есть
следствие эффекта Купера (Л. П. Горьков, 1959); этот коэффициент не мог
бы быть, конечно, установлен чисто феноменологическим путем.
Дифференциальные уравнения, определяющие распределение волновой функции
i|j и магнитного поля в сверхпроводнике, находятся теперь минимизацией
свободной энергии как функционала от трех независимых функций: -ф, г|з* и
А.
Комплексная величина г|з есть совокупность двух вещественных величин;
поэтому г|з и г|з* надо рассматривать при варьировании как независимые
функции. Варьируя интеграл по а|э* и преобразовав интеграл от члена
(yoj)-2iehj%c) у6г|)* интегри-
*) В модели БКШ:
Нс = 2М(трг/Р)1/* (Тс-Т) при Т-*ТС. Приведем также значение Нс в этой же
модели при 7' = 0:
Нс = 0,99 Тс (mpp/h3)'/*
(оно получается приравниванием -VHc/8я разности энергий (40,9)).
УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА - ЛАНДАУ
217
рованием по частям, получим
(45,11)
второй интеграл берется по поверхности тела. Положив 6F = О, получим, в
качестве условия равенства нулю объемного интеграла при произвольном
следующее уравнение:
(варьирование же интеграла по i]) приводит к комплексно-сопряженному
уравнению, т. е. не дает ничего нового).
Аналогичным образом, варьирование интеграла по А приводит к уравнению
Максвелла
совпадающим с (44,7) (мы пишем j вместо js, так как в термодинамическом
равновесии нормальный ток отсутствует). Отметим, что из (45,13) следует
уравнение непрерывности divj = 0; это уравнение можно получить также и
прямым дифференцированием выражения (45,14) с учетом уравнения (45,12).
Уравнение (45,12-14) составляют полную систему уравнений Гинзбурга-
Ландау.
Граничные условия к этим уравнениям получаются из условия равенства нулю
интегралов по поверхности в вариации бF. Из (45,11), таким образом,
получается граничное условие
где п - вектор нормали к поверхности тела. Отметим, что в силу этого
условия обращается в нуль, как и следовало, также и нормальная компонента
тока (45,14): nj = 0*).
1) При граничном условии (45,15) само ф не обращается в нуль, как это,
казалось бы, должно было быть для волновой функции на границе тела. Это
обстоятельство связано с тем, что в действительности ip убывает до нуля
лишь на расстояниях -?о от поверхности; между тем такие расстояния в
теории Гинзбурга-Ландау рассматриваются как пренебрежимо малые.
Условие (45,15) выведено здесь по существу для границы сверхпроводника с
вакуумом. Оно остается в силе и для границы с диэлектриком, но для
|.a)4 + ^ + ^N = 0 (45,12)
(45,13)
причем плотность тока дается выражением
J=-(45,14)
(45,15)
218
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[гл. V
Что касается граничных условий для поля, то из уравнения
(45,13) с учетом конечности j во всем пространстве (вплоть до
поверхности тела) следует непрерывность тангенциальной компоненты
индукции В*. Из уравнения же
divB = 0
следует непрерывность нормальной составляющей индукции Вп. Другими
словами, граничные условия требуют непрерывности всего вектора В.
В слабом магнитном поле можно пренебречь его влиянием на |i|)|a и считать
| ар |2 равным постоянному вдоль тела значению
