Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Кольца и поля
25
поле есть множество F, на котором заданы две операции, называемые
сложением и умножением и которое содержит два выделенных элемента 0 и е,
причем О Ф е. Далее, поле F - абелева группа по сложению, единичным
элементом которой является О, а элементы из F, отличные от 0, образуют
абелеву группу по умножению, единичным элементом которой является е. Две
операции, сложение и умножение, связаны законом дистрибутивности а (Ь +
с) (tm) ab f ас. Второй закон дистрибутивности (b + -I- с) а Ьа + са
выполняется автоматически в силу коммутативности умножения. Элемент 0
называется нулевым элементом (или просто нулем), а е - единичным
элементом (или просто единицей) поля F. В дальнейшем для единицы, как
правило, бсдем использовать символ 1.
"И1
Свойство, появляющееся в определении 1.29 (iii): равенство ab - 0 влечет
за собой а 0 или b = 0 - будем выражать словами "отсутствуют делители
нуля". В частности, поле не имеет делителей нуля, так как если ab - 0 и а
Ф 0, то умножение на сг1 дает Ь = а-10 - 0.
Проиллюстрируем понятие кольца следующими примерами.
1.30. Примеры
(1) Пусть R - абелева группа с групповой операцией + . Определим
умножение условием ab = 0 для всех а, Ь ? i?. Тогда R становится кольцом.
(ii) Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле.
(iii) Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы.
(iv) Функции /: R R образуют коммутативное кольцо с единицей, если сумма
/ -4- g и произведение fg определяются условиями (/ + g) (х) = / (х) + g
(х) и (fg) (х) = / (х) g (х) для
любых X С R.
(v) Множество всех (2 X 2)-матриц с элементами из R образует
некоммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и
умножения матриц. ?
Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным кольцом.
Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 1.30 (ii)), однако верно в
случае, когда указанное целостное кольцо состоит из конечного числа
элементов (т. е. является конечным кольцом). Порядком конечного кольца
называется число элементов этого кольца.
1.31. Теорема. Каждое конечное целостное кольцо является
полем.
Доказательство. Пусть элементы конечного целостного кольца R суть аи а2,
ап. Для некоторого фиксированного ненулевого элемента а ? R рассмотрим
произведения ааь аа2, ...,
26
Гл. I Алгебраические основы
аап. Они различны, так как если ащ - aaj, то а (аг - а3) = О, и так как а
Ф О, то at - as = 0, т. е. а{ - aj. Таким образом, каждый элемент в R
имеет вид aat и, в частности, е - aat для некоторого г, 1 ^ i <; п, где е
- единица R. Поскольку кольцо R коммутативно, то также ща ~ е, так что
элемент щ является мультипликативным обратным к а. Таким образом,
ненулевые элементы кольца R образуют абелеву группу, т. е. R - поле.
?
1.32. Определение. Подмножество S кольца (R, +, ¦) называется подкольцом
этого кольца, если оно замкнуто относительно операций + и - и образует
кольцо относительно этих операций.
1.33. Определение, Подмножество J кольца R называется (двусторонним)
идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для всех а
? J и г ? R имеет место аг ? J и га ? J.
1.34. Примеры
(i) Пусть R - поле Q рациональных чисел. Тогда множество Z целых чисел
является его подкольцом, но не идеалом, так как, например, 1 ? Z> 1U ? Q.
но 1 = XU
(ii) Пусть R - коммутативное кольцо, a ? R, и пусть J -
= {га | г ? R\. Тогда J - идеал кольца R.
(iii) Пусть R - коммутативное кольцо. Тогда наименьшим идеалом,
содержащим данный элемент а ? R, является идеал (а) = \га + па \ г ? R, п
? Z). Если кольцо R имеет единицу,
то (а) - \ra\r ? Д|. ?
1.35. Определение. Пусть R - коммутативное кольцо. Идеал J кольца R
называется главным, если существует элемент а ? R, такой, что J = (а). В
этом случае J называют также главным идеалом, порожденным элементом а.
Так как идеалы являются нормальными подгруппами аддитивной группы кольца,
то каждый идеал J кольца R определяет некоторое разбиение множества R на
смежные классы по аддитивной подгруппе J, называемые классами вычетов
кольца R по модулю идеала J. Класс вычетов кольца R по модулю /,
содержащий элемент а ? R, будем обозначать через [а] = а -f- /, так как
он состоит из всех элементов R вида а + с, где с ? /. Элементы а, Ь ? R,
принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю J (т. е. такие,
что а - Ь ? /), будем называть сравнимыми по модулю J и записывать это
так: а ~ b (mod J) (ср. с определением 1.4). Нетрудно проверить, что если
а = = Ь (mod /), то а + г ~ Ь + г (mod J), or = br (mod /), га = ~ rb
(mod /) и na = nb (mod /) для любых г ? R и n ? Z. Если, кроме того, r ~
s (mod /), то a -f г = b + s (mod /) и аг = bs (mod /).
§ 2, Кольца и поля
27
1 ''
Прямой проверкой показывается, что множество классов вычетов кольца R по
модулю идеала J образует кольцо относительно операций + и определяемых
равенствами
[а ]- /) + {Ь J) ~ (а b) -f- J, (1-2)
(а + /)(* + /) = ab + J. (1.3)
1.36. Определение. Кольцо классов вычетов кольца R по модулю идеала J
