Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
относительно операций (1.2) и (1.3) называется факта ркольцом кольца R по
идеалу J и обозначается через R/J,
1.37. Пример (факторкольцо Zi(ti)) 1). Как и в случае группы (ср. с
определением 1.5), обозначим класс вычетов по модулю п (п с IN),
содержащий число а С Z, через [а 1; этот класс также
может быть записан в виде а + (п), где {п) - главный идеал,
порожденный числом п. Элементами кольца Z!{n) являются
[0] = о + (л), [Ц = 1 + (п), [п - 1] = л - 1 + (л). ?
1.38. Теорема. Факторкольцо Х!{р) кольца Z целых чисел по главному
идеалу, порожденному простым числом р, является полем.
Доказательство. В силу теоремы 1.31 достаточно показать, что Zf(p)
является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является [1 ] и что
равенство [а] [Ь) - lab) -- [0] выполняется в том и только том случае,
когда ab kp для некоторого целого числа k. Но поскольку р - простое
число, то оно делит произведение ab тогда и только тогда, когда оно делит
по крайней мере один из сомножителей. Следовательно, либо [а] = [0 3,
либо 16] = [01, так что кольцо Z!{р) не имеет делителей пуля ¦ ?
К39. Пример. Пусть р - 3. Тогда факторкольцо Zi{p) состоит из трех
элементов 101, [1 ] и [2]. Операции в этом кольце можно задать таблицами
(сложения и умножения), аналогичными таблицам Кэли конечных групп (см.
пример 1.7):
' 10] Ilf [21 ¦ [01 Ш [21
10] 10] [1] [2] [0] [0] [0] [0J
[1] Ш [21 [0] [11 [01 [11 [2J
[2] [2] 10] [11 [2] [0] [2] [1]
Факторкольцо Z!{р) - наш первый пример конечного поля, т. е. поля,
содержащего конечное число элементов. Общая теория таких полей будет
развита позже.
Следует предостеречь читателя от ошибочного предположения, что при
образовании факторкольца обязательно сохраняются все свойства исходного
кольца. Так, например, свойство отсут-
б Кольца такого вида часто называют кольцами вычетов. - Прим. перев,
28 Гл. 1. Алгебраические основы
ствия делителей нуля при этом не всегда сохраняется, что видно на примере
кольца Z!{п) при составном натуральном числе п.
Понятие гомоморфизма групп допускает очевидное обобщение на случай колец.
Отображение ф: R S кольца R в кольцо S называется гомоморфизмом, если для
любых а, Ь ? R
Ф (а -f Ь) = ф (а) + Ф {Ь) и ф (аЬ) - ф (а) ф (Ь).
Таким образом, гомоморфизм ф: RS сохраняет обе операции + и ¦ кольца R и
индуцирует гомоморфизм аддитивной группы кольца R в аддитивную группу
кольца S. Множество
Кег ф = {а ? R | ф (а) = 0. ? S\
называется ядром гомоморфизма ф. Другие понятия, такие, как изоморфизм и
т. п., аналогичны приведенным в определении 1.16. Имеет место также
теорема о гомоморфизме, аналогичная теореме 1.23 для групп:
1.40. Теорема (о гомоморфизме колец). Если ф - гомоморфизм кольца R на
кольцо 5, то Кег ф - идеал кольца R, причем кольцо S изоморфно
фактаркольцу R/Кег ф. Обратно, если J - идеал кольца R, то отображение ф:
R -> R/J, определяемое условием ф (а) = а + J для всех а ? R, является
гомоморфизмом кольца R на RIJ с ядром J.
Отображения могут быть использованы также для перенесения некоторой
структуры с алгебраической системы на множество без структуры. Например,
пусть R - кольцо, и пусть ф - взаимно однозначное отображение множества R
на множество Si тогда с помощью отображения ф можно определить, на S
кольцевую структуру, которая превращает отображение ф в изоморфизм. Более
подробно, пусть Si и s2 - два элемента множества S, а ц и г2 - элементы
кольца R, однозначно определяемые условиями ф (ri) = st и ф (r2) = s2.
Тогда, определив сумму |- $2 как ф (гг + г2) и произведение $xs2 как ф
(/д/Д, обеспечим выполнение всех нужных свойств. Полученную на S
структуру можно назвать кольцевой структурой, индуцированной отображением
ф. При этом если кольцо R обладает какими-либо дополнительными
свойствами, например является целостным кольцом или полем, то эти
свойства наследуются и множеством S. Применим этот принцип для получения
более удобного представления конечного поля Z/(p).
1.41, Определение. Для простого числа р обозначим через fp множество (0,
1, р - 1| целых чисел, и пусть отображение ф: 7J(p)^Fp определяется
условием ф([а!) = а для а ^ 0, 1, ..., р - 1. Тогда множество [рр со
структурой поля, индуцированной отображением ф, называется полем Галуа
порядка р (часто оно обозначается также символом GF (р)).
§ 2, Кольца и поля
29
В соответствии с ранее сказанным отображение ф: Zi{p) -> jFp является
изоморфизмом, так что ф ([а ] 4- \.Ь)) - Ф ([а ]) + -к Ф (\Ь)} и ф ([а]
[Ь}} = ф (la)) ср ([&)). Нулем конечного поля jfp будет 0, а единицей
является 1, и его структура совпадает со структурой поля 21 (р). Поэтому
при вычислениях с элементами поля Fp применяется обычная арифметика целых
чисел с приведением по модулю р.
1.42. Примеры
(i) Рассмотрим поле Z/(5), изоморфное полю Галуа Fs ~ -- {0, 1, 2, 3,
4[, с изоморфизмом, задаваемым соответствием [О J 0, [1)-*-1, 12] -+2,
13]^3, [4] ->-4. Таблицы операций |- и ¦ ноля Fa имеют вид
> t \ 0 1 2 3 4 к 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
